El radio del mayor círculo (en el plano) o esfera (en el espacio) que puede inscribirse en un polígono o poliedro de modo que sea tangente a cada lado (arista) o cara; en un triángulo es el radio del círculo inscrito.

Principio

El radio inscrito mide la distancia uniforme máxima desde un centro interior a todas las rectas o caras fronteras; en polígonos tangenciales relaciona medidas lineales (longitudes de lados, semiperímetro) con el área.

Demostración

Para un triángulo con lados a, b, c y área Δ, el inradio r es Δ dividido por el semiperímetro s = (a+b+c)/2, de modo que r = Δ/s. Ejemplo: el triángulo rectángulo 3–4–5 tiene área 6 y semiperímetro 6, por tanto r = 1.

Aplicación incorrecta

Tratar la distancia desde un punto interior cualquiera a los lados como el radio inscrito, o suponer que todo polígono tiene un círculo inscrito tangente a todos sus lados (los polígonos no tangenciales no lo tienen).

Consecuencia

Si existe el radio inscrito, proporciona fórmulas directas de área, permite construir el círculo inscrito y el triángulo de contacto, y da parámetros para problemas de optimización (inscripción máxima, empaquetamiento).

Inversión

El radio circunscrito es la noción inversa: radio del círculo que pasa por todos los vértices, en lugar de ser tangente a todos los lados; los exradios son tangentes externas relacionadas en triángulos.

Límite

Se aplica únicamente a figuras que admiten un círculo/esfera inscrito tangente a cada lado/cara (polígonos tangenciales, sólidos convexos con esfera inscrita). No se aplica a polígonos no tangenciales, fronteras fractales ni métricas no euclidianas sin especificación.

Tensión semántica

Se confunde con el apotema (en polígonos regulares apotema = radio inscrito) o con la «distancia al lado más cercano»; a diferencia de esta última, el radio inscrito exige un centro único equidistante a todos los lados.

Síntesis

El radio inscrito es la distancia canónica única desde un centro interior especial a cada lado o cara cuando la figura admite un círculo o esfera inscrita; convierte datos lineales en área/volumen y diferencia figuras tangenciales de las que carecen de insfera.