La mesure de rotation entre deux demi‑droites ou segments sécants dans un plan, généralement exprimée en degrés ou en radians et équivalente à la longueur de l'arc correspondant sur le cercle unité.

Principe

La mesure d'un angle est additive lors de la concaténation, invariante par isométrie du plan, et pour les angles orientés elle correspond à la longueur d'arc sur le cercle unité divisée par le rayon (radians) ou une échelle proportionnelle en degrés.

Démonstration

L'angle θ entre les vecteurs u et v du plan satisfait cos θ = (u · v) / (|u||v|) ; dans un triangle les angles intérieurs somment à π radians (180 degrés).

Mauvaise application

Mélanger degrés et radians sans conversion dans des formules (par exemple dans des séries trigonométriques) ou traiter un angle uniquement comme un scalaire signé lorsque l'orientation ou l'équivalence modulo est importante.

Conséquence

Un usage correct de la mesure angulaire permet l'analyse trigonométrique, la composition de rotations et les constructions géométriques ; elle est fondamentale pour définir sinus, cosinus et autres fonctions périodiques.

Inversion

Au lieu de mesurer la rotation entre des demi‑droites, mesurer la distance le long d'une courbe reliant des points sur les demi‑droites ; on échange ainsi l'information de rotation contre une longueur de trajet.

Limite

Les angles ici définis concernent les angles plans (bidimensionnels) entre demi‑droites ; les angles solides, les angles dièdres en trois dimensions et les notions orientationnelles multi‑valuées sont hors de ce périmètre immédiat.

Tension sémantique

L'angle en tant que mesure géométrique est en tension avec des notions algébriques ou orientées (angle dirigé modulo 2π) et avec les concepts d'angle solide en dimensions supérieures ; la confusion survient souvent à propos de l'orientation, des conventions de signe et du modulo.

Synthèse

Un angle est la mesure plane de la rotation entre deux demi‑droites : quantifié par la longueur d'arc sur le cercle unité et formalisé de sorte qu'il se compose de manière additive, interagissant directement avec les fonctions trigonométriques et les opérations vectorielles.