La longueur totale du contour fermé d’une région plane ou d’un polygone, obtenue en sommant ou en intégrant les longueurs des composantes du bord ; pour un polygone, c’est la somme des longueurs des arêtes.

Principe

Mesure agrégée du bord : le périmètre mesure l’étendue unidimensionnelle de la ou des courbes frontière qui enferment une région et se calcule en intégrant la longueur d’arc sur le contour fermé ou en sommant les longueurs des côtés pour un bord polygonal.

Démonstration

Pour un triangle de côtés a, b, c dans le plan, le périmètre vaut a + b + c. Pour une région à bord lisse, le périmètre est l’intégrale de la longueur d’arc le long des courbes frontière.

Mauvaise application

Supposer que le périmètre détermine l’aire ; deux régions planes peuvent avoir le même périmètre mais des aires arbitrairement différentes, donc le périmètre seul n’ordonne pas l’aire sans contraintes supplémentaires comme la convexité.

Conséquence

Constitue un invariant géométrique de base pour les figures planes utilisé dans les problèmes isopérimétriques et la classification des formes ; combiné à l’aire, le périmètre intervient dans des inégalités et des problèmes d’optimisation mesurant l’efficacité des formes.

Inversion

Considérer la mesure intérieure plutôt que la mesure du bord : remplacer le périmètre par l’aire ou d’autres mesures de dimension supérieure oppose l’étendue du bord au contenu du volume intérieur et met en évidence des objectifs d’optimisation différents (par exemple maximiser l’aire pour un périmètre fixé).

Limite

S’applique aux régions planes dont le bord est rectifiable ou aux polygones ; exclut les bords non rectifiables de longueur totale infinie et les analogues en dimension supérieure où la 'surface' remplace le périmètre comme mesure naturelle du bord.

Tension sémantique

Lié à « longueur du bord » (synonyme) et à « aire » (mesure volumique à deux dimensions) : le périmètre quantifie le bord tandis que l’aire quantifie l’intérieur ; en optimisation, il existe une tension entre minimiser le périmètre pour une aire donnée et d’autres objectifs géométriques.

Synthèse

Le périmètre est la longueur sommée ou intégrée du contour fermé d’une région, un invariant unidimensionnel des formes planes qui occupe une place centrale dans la comparaison, l’optimisation et les inégalités géométriques.