La longitud total del contorno cerrado de una región plana o de un polígono, obtenida sumando o integrando las longitudes de las componentes del borde; para un polígono es la suma de las longitudes de sus lados.

Principio

Medida agregada del borde: el perímetro mide la extensión unidimensional de la(s) curva(s) límite que encierran una región y se calcula integrando la longitud de arco sobre el contorno cerrado o sumando las longitudes de los lados para bordes poligonales.

Demostración

Para un triángulo con lados de longitudes a, b, c en el plano, el perímetro es a + b + c. Para una región con borde liso, el perímetro es la integral de la longitud de arco alrededor de las curvas límite.

Aplicación incorrecta

Suponer que el perímetro determina el área; dos regiones planas pueden tener el mismo perímetro pero áreas arbitrariamente distintas, por lo que el perímetro por sí solo no fija el área encerrada sin restricciones adicionales como la convexidad.

Consecuencia

Sirve como invariante geométrico básico para figuras planas usado en problemas isoperimétricos y clasificación de formas; combinado con el área, el perímetro aparece en desigualdades y problemas de optimización que controlan la eficiencia de las formas.

Inversión

Considerar la medida interior en lugar de la medida del borde: reemplazar el perímetro por el área u otras medidas de mayor dimensión contrapone la extensión del borde con el contenido interior y enfatiza distintos objetivos de optimización (por ejemplo, maximizar el área para un perímetro fijo).

Límite

Se aplica a regiones planas con contornos rectificables o polígonos; excluye contornos no rectificables con longitud total infinita y análogos de dimensiones superiores donde el 'área de la superficie' sustituye al perímetro como medida natural del borde.

Tensión semántica

Relacionado con 'longitud del borde' (sinónimo) y 'área' (medida interior bidimensional): el perímetro cuantifica el contorno mientras que el área cuantifica el interior; en optimización existe tensión entre minimizar el perímetro para un área dada y otros objetivos geométricos.

Síntesis

El perímetro es la longitud sumada o integrada del contorno cerrado de una región, un invariante unidimensional de las formas planas que desempeña un papel central en la comparación, optimización y desigualdades geométricas.