Une isométrie du plan euclidien obtenue en effectuant d’abord une réflexion par rapport à une droite puis une translation dont le vecteur est parallèle à cette même droite ; autrement dit, la composition d’une symétrie axiale et d’un déplacement non trivial le long de l’axe de réflexion.

Principe

Composer une symétrie miroir et un déplacement colinéaire : la réflexion inverse l’orientation par rapport à une droite, la translation le long de cette droite déplace les points sans rotation ; leur composition donne une isométrie inversant l’orientation sans points fixes isolés si la translation est non nulle.

Démonstration

Réfléchir chaque point par rapport à l’axe des abscisses (y ↦ −y) puis translater horizontalement de a le long de cet axe (x ↦ x+a). La composée envoie (x,y) sur (x+a, −y), une réflexion glissée le long de l’axe des abscisses.

Mauvaise application

Considérer comme réflexion glissée une réflexion suivie d’une translation dont la direction n’est pas parallèle à l’axe de réflexion ; cette composition n’est généralement pas une réflexion glissée et se décompose en une rotation et une translation ou en une autre isométrie.

Conséquence

Permet de classifier une famille d’isométries planes : toute isométrie du plan qui inverse l’orientation et n’a pas de points fixes isolés peut s’exprimer comme une réflexion glissée, ce qui éclaire l’étude des symétries de motifs et pavages.

Inversion

Inverser l’ordre ou le sens : effectuer la translation avant la réflexion donne la même réflexion glissée seulement si le vecteur de translation est parallèle à la droite ; inverser le sens de la translation donne la réflexion glissée réciproque.

Limite

Valable pour les isométries du plan euclidien avec un axe de réflexion et une translation parallèle à cet axe ; exclut les réflexions pures, les translations pures, les rotations et les compositions impliquant des translations non colinéaires ou l’extension non modifiée à des espaces de dimension supérieure.

Tension sémantique

Termes voisins : « réflexion » (sans translation) et « mouvement hélicoïdal » (rotation plus translation en dimension 3) ; la réflexion glissée est analogue en 2D au mouvement hélicoïdal mais s’en distingue en inversant l’orientation et en reposant sur un axe miroir plutôt qu’un axe de rotation.

Synthèse

La réflexion glissée est l’isométrie plane qui allie une symétrie axiale et un déplacement parallèle à l’axe, produisant un renversement orienté combiné à une translation qui structure de nombreux motifs en bandes.