Una isometría del plano euclidiano obtenida al efectuar una reflexión respecto a una recta seguida de una traslación cuyo vector es paralelo a esa misma recta; en otras palabras, la composición de una simetría axial y un desplazamiento no trivial a lo largo de la recta de reflexión.

Principio

Combinar espejo y desplazamiento colineal: la reflexión invierte la orientación respecto a una recta y la traslación paralela desplaza puntos sin rotación; juntas producen una isometría que invierte la orientación y que no tiene puntos fijos aislados si la traslación es no nula.

Demostración

Reflejar cada punto respecto al eje x (y ↦ −y) y luego trasladar horizontalmente una distancia a a lo largo del eje (x ↦ x+a). La composición manda (x,y) a (x+a, −y), que es una reflexión deslizante a lo largo del eje x.

Aplicación incorrecta

Considerar como reflexión deslizante la composición de una reflexión con una traslación cuya dirección no sea paralela a la recta de reflexión; en general esa composición no es una reflexión deslizante y se descompone en una rotación y una traslación u otra isometría.

Consecuencia

Clasifica una familia de isometrías planas: toda isometría del plano que invierte la orientación y no tiene puntos fijos aislados puede representarse como una reflexión deslizante, lo que informa el estudio de simetrías en patrones y teselaciones.

Inversión

Invertir el orden o la dirección: efectuar la traslación antes de la reflexión produce la misma reflexión deslizante solo si el vector de traslación es paralelo a la recta; invertir la dirección de la traslación produce la reflexión deslizante inversa.

Límite

Se aplica a isometrías del plano euclidiano con un eje de reflexión y una traslación paralela a ese eje; excluye reflexiones puras, traslaciones puras, rotaciones y composiciones con traslaciones no colineales o la extensión sin cambio a espacios de dimensión superior.

Tensión semántica

Términos cercanos: 'reflexión' (sin traslación) y 'movimiento helicoidal' (rotación más traslación en 3D). La reflexión deslizante es un análogo bidimensional del movimiento helicoidal pero se distingue en que invierte la orientación y se basa en un eje espejo en lugar de un eje de rotación.

Síntesis

La reflexión deslizante es la isometría plana que combina una simetría axial y un desplazamiento paralelo al eje, produciendo una inversión de orientación junto con una traslación que estructura muchos motivos en bandas.