Un mouvement rigide qui déplace chaque point le long d'un arc de cercle autour d'un centre fixé (dans le plan) ou d'un axe (dans l'espace) d'un angle donné, en préservant distances et orientation.

Principe

La rotation est une isométrie préservant l'orientation, représentée par une application linéaire orthogonale de déterminant +1 ; dans le plan elle est conjuguée à une matrice de rotation 2×2, et dans l'espace les rotations autour d'un axe forment un sous‑groupe à un paramètre du groupe orthogonal.

Démonstration

Dans R^2, la rotation d'angle θ autour de l'origine envoie (x,y) sur (x cosθ−y sinθ, x sinθ+ y cosθ). Dans R^3, la rotation autour de l'axe z d'angle θ est donnée par la matrice diag(R_θ,1) avec R_θ la matrice 2×2 agissant sur x,y. Composer petites rotations mène aux angles d'Euler ou à la formule de Rodrigues pour une rotation finie autour d'un axe.

Mauvaise application

Employer le terme rotation pour permutations arbitraires ou pour applications qui ne conservent pas les distances ; appliquer formules planaires de rotation à variétés non euclidiennes ou ignorer la question d'orientation selon la dimension conduit à des erreurs.

Conséquence

Les rotations conservent longueurs, angles et orientation, engendrent des groupes de symétrie continus, et leur représentation par matrices orthogonales implique des propriétés spectrales (valeurs propres complexes sur le cercle unité) importantes en mécanique et en décompositions (Eulers, polaire).

Inversion

L'inverse d'une rotation d'angle θ est la rotation d'angle −θ autour du même centre ou axe ; composer une rotation avec une réflexion donne une rotation impropre ou rotoreflection qui inverse l'orientation.

Limite

Définie dans des espaces métriques ou à produit scalaire où distances et angles ont un sens ; dans certaines dimensions supérieures une transformation orthogonale de déterminant +1 peut se décomposer en plusieurs rotations simultanées, si bien que l'image d'une unique 'axe' ne suffit pas toujours.

Tension sémantique

On la compare aux translations, réflexions et transformations orthogonales générales : la rotation préserve l'orientation (à la différence de la réflexion) et est continue, mais le terme peut être confondu avec des permutations cycliques ou des symétries discrètes sans centre ni axe géométrique.

Synthèse

La rotation est le mouvement rigide élémentaire préservant l'orientation : une transformation orthogonale de déterminant +1 qui déplace les points sur des trajectoires circulaires autour d'un centre ou d'un axe, préservant la structure métrique et formant des sous‑groupes de symétrie continus.