Eine starre Bewegung, die jeden Punkt entlang eines Kreisbogens um ein festes Zentrum (in der Ebene) oder eine Achse (im Raum) um einen festen Winkel verschiebt und dabei Distanzen und Orientierung erhält.

Prinzip

Eine Drehung ist eine orientations­erhaltende Isometrie, darstellbar durch eine orthogonale lineare Abbildung mit Determinante +1; in der Ebene ist sie zu einer 2×2‑Rotationsmatrix konjugiert, im Raum bilden Rotationen um eine Achse eine eindimensionale Untergruppe der orthogonalen Gruppe.

Demonstration

In R^2 sendet eine Drehung um den Ursprung um Winkel θ (x,y) auf (x cosθ−y sinθ, x sinθ+ y cosθ). In R^3 ist die Drehung um die z‑Achse durch die Blockmatrix diag(R_θ,1) gegeben. Durch Komposition kleiner Drehungen erhält man Euler‑Winkel oder die Rodrigues‑Formel für endliche Achsendrehungen.

Fehlanwendung

Den Begriff ‚Drehung‘ für beliebige Permutationen verwenden oder für Abbildungen, die Distanzen nicht erhalten; ebene Drehungsformeln auf nicht‑euklidische Mannigfaltigkeiten anwenden oder Orientierungsfragen in verschiedenen Dimensionen ignorieren führt zu Fehlern.

Konsequenz

Drehungen erhalten Längen, Winkel und Orientierung, erzeugen kontinuierliche Symmetriegruppen, und ihre Darstellung durch orthogonale Matrizen führt zu spektralen Eigenschaften (komplexe Eigenwerte auf dem Einheitskreis), die zentral für Mechanik und Gruppendecompositionen sind.

Umkehrung

Die Inverse einer Drehung um θ ist die Drehung um −θ um dieselbe Achse oder denselben Mittelpunkt; das Komponieren einer Drehung mit einer Spiegelung ergibt eine unechte Drehung (Rotoreflektion), die die Orientierung umkehrt.

Abgrenzung

Definiert in metrischen oder Skalarprodukträumen, in denen Längen und Winkel Sinn haben; in höheren Dimensionen kann sich eine orthogonale Abbildung mit Determinante +1 in mehrere simultane Drehungen zerlegen, sodass das einfache Achsenbild nicht immer ausreicht.

Semantische Spannung

Im Gegensatz zu Translationen, Spiegelungen und allgemeinen orthogonalen Transformationen: Drehungen erhalten die Orientierung (im Gegensatz zur Spiegelung) und sind stetig, doch der Begriff kann mit zyklischen Permutationen oder diskreten Symmetrien ohne geometrischen Mittelpunkt verwechselt werden.

Synthese

Drehung ist die grundlegende orientations­erhaltende starre Bewegung: eine orthogonale Transformation mit Determinante +1, die Punkte auf Kreisbahnen um Zentrum oder Achse verschiebt, Distanzen erhält und kontinuierliche Symmetrieuntergruppen bildet.