Transformation isométrique qui envoie chaque point sur son image miroir par rapport à une droite (dans le plan) ou un plan (dans l'espace), fixant point par point le sous-espace de réflexion.

Principe

La réflexion est une isométrie euclidienne involutive dont l'ensemble des points fixes est le sous-espace de réflexion ; algébriquement c'est une application linéaire orthogonale de déterminant −1 (selon la dimension) et qui vérifie R^2=identité.

Démonstration

Dans le plan, la réflexion par rapport à l'axe x envoie (x,y) sur (x,−y). Dans R^3, refléter par rapport au plan z=0 envoie (x,y,z) sur (x,y,−z). Matriciellement, la réflexion autour d'une normale unitaire n s'exprime I−2nn^T.

Mauvaise application

Confondre réflexion et rotation ou supposer qu'elle préserve l'orientation dans toutes les dimensions ; appliquer la formule du miroir avec une normale non unitaire ou dans un espace sans produit scalaire donne des applications incorrectes ou non isométriques.

Conséquence

La réflexion conserve les distances, inverse l'orientation et, avec d'autres réflexions, engendre les groupes orthogonaux ; la composition de deux réflexions produit une rotation ou une translation suivant la position des sous‑espaces réfléchissants.

Inversion

La réflexion est sa propre inverse (involution) : l'appliquer deux fois rend la configuration initiale. Inversement, composer deux mêmes réflexions s'annule.

Limite

Définie dans des espaces euclidiens ou à produit scalaire où l'orthogonalité et la distance ont un sens ; n'a pas de signification dans des cadres purement affines dépourvus de métrique ou là où la symétrie miroir n'existe pas.

Tension sémantique

On la confond parfois avec l'inversion dans un cercle ou avec des symétries affines qui fixent un sous-espace sans préserver les distances ; les réflexions sont rigides et isométriques, tandis que les inversions ou les glissements réflexifs diffèrent pour les propriétés métriques ou d'orientation.

Synthèse

La réflexion est l'isométrie miroir élémentaire : une application involutive conservant les distances, fixant point par point un sous‑espace et servant de générateur fondamental des transformations orthogonales par composition.