Eine isometrische Abbildung, die jeden Punkt auf sein Spiegelbild an einer gegebenen Linie (in der Ebene) oder Ebene (im Raum) abbildet und den spiegelnden Unterraum punktweise festlässt.

Prinzip

Spiegelung ist eine involutive euklidische Isometrie, deren Fixmenge der spiegelnde Unterraum ist; algebraisch ist sie eine orthogonale lineare Abbildung mit Determinante −1 (in passender Dimension) und erfüllt R^2 = Identität.

Demonstration

In der Ebene sendet Spiegelung an der x‑Achse (x,y) auf (x,−y). In R^3 spiegelt die Ebene z=0 (x,y,z) auf (x,y,−z). Matrixdarstellung: Spiegelung an der Einheitnormalen n ist I−2nn^T.

Fehlanwendung

Spiegelung mit Rotation verwechseln oder annehmen, sie erhalte in allen Dimensionen die Orientierung; die Spiegelungsformel mit einer nicht normierten Normalen oder in Räumen ohne Skalarprodukt anzuwenden führt zu falschen oder nicht isometrischen Abbildungen.

Konsequenz

Spiegelung erhält Distanzen, kehrt die Orientierung um und erzeugt zusammen mit anderen Spiegelungen orthogonale Gruppen; die Komposition zweier Spiegelungen ergibt je nach Lage der Spiegel eine Drehung oder eine Translation.

Umkehrung

Spiegelung ist ihre eigene Inverse (Involution): zweimal angewandt ergibt sich die Ausgangssituation. Zwei gleiche Spiegelungen hintereinander heben sich auf.

Abgrenzung

Definiert in euklidischen oder Skalarprodukträumen, in denen Orthogonalität und Distanz Sinn haben; in rein affinen Kontexten ohne Metrik oder dort, wo Spiegelung nicht existiert, ist sie nicht definiert.

Semantische Spannung

Wird mitunter mit Kreis‑Inversionen oder affinen Symmetrien verwechselt, die einen Unterraum fixieren, aber nicht die Distanzen erhalten; Spiegelungen sind starr und isometrisch, Inversionen oder Gleitspiegelungen besitzen andere metrische oder orientierungsrelevante Eigenschaften.

Synthese

Spiegelung ist die elementare Spiegel‑Isometrie: eine involutive, distanzerhaltende Abbildung, die einen Unterraum punktweise fixiert und als grundlegender Erzeuger orthogonaler Transformationen dient.