Application conforme qui envoie les points d'une sphère moins un pôle distingué vers les points d'un plan en projetant selon les droites passant par le pôle ; elle établit une bijection entre la sphère percée et le plan.

Principe

On projette depuis un pôle choisi : chaque point de la sphère (à l'exception du pôle) est sur une droite unique passant par le pôle qui rencontre le plan en un seul point ; la projection stéréographique préserve les angles (conforme) et envoie les cercles n'incluant pas le pôle sur des cercles du plan.

Démonstration

Pour la sphère unité de R^3 avec pôle nord N=(0,0,1), projeter depuis N sur le plan z=0 envoie (x,y,z) (z≠1) sur (x/(1-z), y/(1-z)). En analyse complexe cela identifie la sphère de Riemann au plan complexe étendu en associant à un point sa coordonnée complexe.

Mauvaise application

Supposer que la projection stéréographique conserve les aires ou les longueurs (ce n'est pas le cas), ou l'utiliser sans traiter le pôle (qui correspond à l'infini) conduit à des erreurs ; la prendre pour une isométrie est incorrect.

Conséquence

Fournit une paramétrisation conforme de la sphère par le plan, transforme des problèmes sphériques en problèmes planaires et compactifie le plan par un point à l'infini correspondant au pôle omis.

Inversion

Elle possède une inverse bien définie qui relève un point du plan sur la sphère ; le pôle correspond au point à l'infini du plan. L'inverse récupère les coordonnées sphériques à partir des coordonnées planaires, sauf en l'infini.

Limite

Définie sur la sphère privée du pôle de projection ; pour obtenir une bijection avec la sphère entière il faut ajouter le point à l'infini au plan. Elle dépend du choix du pôle et du plan.

Tension sémantique

On la confond parfois avec d'autres projections sphère-plan (orthographique, gnomonique, Lambert azimutale) qui échangent la conformité contre la conservation des aires ou des géodésiques ; la stéréographique se distingue par la conservation des angles et l'envoi des cercles sur des cercles (sauf ceux passant par le pôle).

Synthèse

La projection stéréographique est la correspondance conforme entre la sphère privée d'un point et le plan : elle projette le long des rayons d'un pôle, envoie les cercles sur des cercles (sauf s'ils traversent le pôle) et identifie le pôle au point à l'infini.