Eine konforme Abbildung, die Punkte einer Kugel ohne einen ausgesuchten Pol auf Punkte einer Ebene abbildet, indem sie entlang der Geraden durch diesen Pol projiziert; sie liefert eine Bijektion zwischen der punktierten Kugel und der Ebene.

Prinzip

Vom gewählten Pol aus projiziert: Jeder Punkt der Kugel (außer dem Pol) liegt auf einer eindeutigen Geraden durch den Pol, die die Ebene in genau einem Punkt schneidet; stereografische Projektion bewahrt Winkel (konform) und bildet Kreise, die nicht durch den Pol gehen, auf Kreise in der Ebene ab.

Demonstration

Für die Einheitskugel in R^3 mit Nordpol N=(0,0,1) projiziert die Projektion von N auf die Ebene z=0 den Punkt (x,y,z) (z≠1) auf (x/(1-z),y/(1-z)). In der komplexen Analysis identifiziert dies die Riemannsche Kugel mit der erweiterten komplexen Ebene.

Fehlanwendung

Die stereografische Projektion als flächen- oder distanzerhaltend annehmen (ist sie nicht) oder sie anwenden, ohne den Pol (der auf ∞ abgebildet wird) zu berücksichtigen, führt zu Fehlinterpretationen; sie als Isometrie zu missverstehen ist falsch.

Konsequenz

Sie bietet eine konforme Parametrisierung der Kugel durch die Ebene, wandelt Kugelprobleme in ebene Probleme um und kompaktiert die Ebene durch einen Punkt im Unendlichen, der dem weggelassenen Pol entspricht.

Umkehrung

Sie besitzt eine wohldefinierte Umkehr, die einen ebenen Punkt auf die Kugel hebt; der Pol entspricht dem Unendlichen in der Ebene. Die Umkehr rekonstruiert die Kugelkoordinaten bis auf das Verhalten bei ∞.

Abgrenzung

Definiert auf der Kugel ohne den Projektionspol; für globale Aussagen muss man der Ebene den Punkt im Unendlichen hinzufügen, um eine Bijektion zur ganzen Kugel zu erhalten. Sie hängt vom gewählten Pol und der Ebene ab.

Semantische Spannung

Wird gelegentlich mit anderen Kugel–Ebene-Abbildungen verwechselt (z. B. orthographische, gnomonische, Lambert-azimutale Projektionen), die Konformität gegen Flächentreue oder geodätische Eigenschaften eintauschen; stereografisch zeichnet sie sich durch Winkelerhalt und Kreis-auf-Kreis-Abbildungen aus.

Synthese

Die stereografische Projektion ist die winkelerhaltende Entsprechung zwischen der punktierten Kugel und der Ebene: sie projiziert entlang der Strahlen eines Pols, bildet Kreise auf Kreise (außer denen, die den Pol durchlaufen) und identifiziert den Pol mit dem Punkt im Unendlichen.