Un sous-espace affine de codimension un d'un espace affine ou un sous-espace linéaire de codimension un d'un espace vectoriel ; en géométrie projective un hyperplan est un sous-espace projectif de codimension un. Dans le cas affine il est défini par une seule équation linéaire et sépare l'espace ambiant en deux demi-espaces.

Principe

Un hyperplan est donné par l'annulation d'un fonctionnel affine non trivial (ou linéaire homogène en contexte projectif) ; il est l'objet plat non trivial le plus simple et sert souvent de structure de support ou de séparation en géométrie linéaire et convexe.

Démonstration

Dans R^3, l'ensemble {x ∈ R^3 : ax + by + cz + d = 0} est un hyperplan affine (un plan) lorsque (a,b,c) ≠ (0,0,0) ; dans le plan projectif une droite est un hyperplan projectif décrit par une équation linéaire homogène.

Mauvaise application

Qualifier de hyperplan une surface courbe bidimensionnelle dans R^3, ou appeler hyperplan un sous-espace de codimension supérieure à un ; oublier la distinction entre contextes affine et projectif (les hyperplans affines séparent, les hyperplans projectifs non).

Conséquence

Les hyperplans partitionnent l'espace affine en deux demi-espaces et sont fondamentaux en algèbre linéaire (noyaux de fonctionnelles linéaires), en convexité (hyperplans supports), en classification (séparateurs linéaires) et en dualité projective.

Inversion

Remplacer un hyperplan par une hypersurface autorise une courbure non linéaire et une géométrie locale plus riche ; considérer des sous-espaces de plus basse codimension (droites, plans) réduit le pouvoir de séparation, tandis que des codimensions plus élevées n'en séparent pas.

Limite

S'applique aux cadres linéaires, affines ou projectifs et suppose une structure vectorielle ou affine ; exclut les hypersurfaces non linéaires, les variétés sans structure linéaire et les ensembles discrets ; dans l'espace projectif il n'y a pas de séparation en demi-espaces.

Tension sémantique

Tension avec le terme plus large 'hypersurface' : les hyperplans sont des hypersurfaces linéaires/homogènes alors que les hypersurfaces peuvent être non linéaires ; tension aussi avec la notion d'« hyperplan à l'infini » qui distingue les vues affines et projectives.

Synthèse

Un hyperplan est un sous-espace linéaire ou affine plat de codimension un (ou son analogue projectif) défini par une seule équation linéaire non triviale ; il constitue l'outil de séparation et de support de base en géométrie linéaire, affine et projective.