Un subespacio afín de codimensión uno en un espacio afín o un subespacio lineal de codimensión uno en un espacio vectorial; en geometría proyectiva un hiperplano es un subespacio proyectivo de codimensión uno. En el caso afín se define por una sola ecuación lineal y separa el espacio ambiente en dos semiespacios.

Principio

Un hiperplano viene dado por la anulación de un funcional afín no trivial (o lineal homogéneo en el caso proyectivo); es el objeto plano no trivial más simple y suele servir como estructura de apoyo o separación en geometría lineal y convexa.

Demostración

En R^3 el conjunto {x ∈ R^3 : ax + by + cz + d = 0} es un hiperplano afín (un plano) cuando (a,b,c) ≠ (0,0,0); en el plano proyectivo una recta es un hiperplano proyectivo descrito por una ecuación lineal homogénea.

Aplicación incorrecta

Llamar hiperplano a una superficie curva bidimensional en R^3, o etiquetar un subespacio de codimensión mayor como hiperplano; olvidar la distinción entre contextos afín y proyectivo (los hiperplanos afines separan, los proyectivos no).

Consecuencia

Los hiperplanos particionan el espacio afín en dos semiespacios y son fundamentales en álgebra lineal (núcleos de funcionales lineales), convexidad (hiperplanos de soporte), clasificación (separadores lineales) y construcciones de dualidad en geometría proyectiva.

Inversión

Sustituir un hiperplano por una hipersuperficie permite curvatura no lineal y geometría local más compleja; considerar subespacios de menor codimensión (rectas, planos en mayor dimensión) reduce la capacidad de separación, mientras que codimensiones mayores no separan.

Límite

Se aplica en contextos lineales, afines o proyectivos y presupone una estructura vectorial o afín; excluye hipersuperficies no lineales, variedades sin estructura lineal y conjuntos discretos; en espacio proyectivo no hay separación en semiespacios.

Tensión semántica

Tensión con el término más amplio 'hipersuperficie': los hiperplanos son hipersuperficies lineales/homogéneas mientras que hipersuperficies pueden ser no lineales; tensión también con la noción de 'hiperplano en el infinito' que distingue las imágenes afines y proyectivas.

Síntesis

Un hiperplano es un subespacio lineal o afín plano de codimensión uno (o su análogo proyectivo) definido por una sola ecuación lineal no trivial; es el separador y objeto de soporte básico en geometría lineal, afín y proyectiva.