Espace topologique localement homéomorphe à R^n ; souvent muni d'une structure supplémentaire (lisse, différentiable, analytique ou topologique) définie par un atlas de cartes et des applications de transition d'une certaine régularité.

Principe

Des cartes locales euclidiennes permettent le calcul et la linéarisation locale : chaque point possède un voisinage envoyé homéomorphiquement (ou difféomorphiquement) sur un ouvert de R^n, et la compatibilité des cartes (applications de transition) fixe la classe de différentiabilité de la variété.

Démonstration

La sphère S^n est une variété lisse : localement elle ressemble à R^n via des projections stéréographiques ou des cartes locales ; les espaces tangents en chaque point sont des espaces vectoriels de dimension n qui linéarisent le comportement local.

Mauvaise application

Prétendre qu'un espace présentant des singularités, une topologie non Hausdorff ou ne satisfaisant pas la seconde dénombrabilité est une variété constitue un abus ; de même supposer des coordonnées globales à partir de cartes locales est incorrect.

Conséquence

En présence d'une structure de variété, on peut définir fibré tangent, formes différentielles, intégration, champs de vecteurs et appliquer topologie et géométrie différentielles ; des techniques local‑à‑global (partitions de l'unité, atlas) deviennent disponibles.

Inversion

L'inverse est un espace singulier (par exemple à points coniques ou orbifoldes) ou un espace sans cartes locales euclidiennes ; de tels espaces n'ont pas les outils différentiels usuels et réclament des théories alternatives.

Limite

Ici, 'variété' implique généralement un espace de Hausdorff et de seconde dénombrabilité modélisé sur R^n sauf précision contraire ; elle exclut les espaces pathologiques et, sauf mention, les points singuliers et les espaces non-variétés.

Tension sémantique

Tension entre notions de variété (topologique, différentiable, lisse, analytique) et concepts proches comme complexes CW, variétés algébriques ou orbifoldes : recoupements d'exemples existent mais les modèles locaux et singularités admises diffèrent.

Synthèse

Une variété est une structure qui assemble des cartes locales euclidiennes en un espace global avec compatibilité contrôlée : elle offre l'arène où le calcul local et la linéarisation s'étendent au raisonnement géométrique et topologique global sous conditions de régularité et de séparation.