Espacio topológico localmente homeomorfo a R^n; con frecuencia se equipa con estructura adicional (suave, diferenciable, analítica o puramente topológica) especificada mediante un atlas de cartas y mapas de transición de una clase de regularidad dada.

Principio

Las cartas locales euclidianas permiten cálculo y linealización local: cada punto tiene una vecindad mapeada homeomorfamente (o difeomorfamente) a un abierto de R^n, y la compatibilidad de las cartas (mapas de transición) determina la clase de diferenciabilidad de la variedad.

Demostración

La esfera S^n es una variedad suave: localmente se parece a R^n mediante proyecciones estereográficas o parches de coordenadas; los espacios tangentes en los puntos son espacios vectoriales n‑dimensionales que linealizan el comportamiento local.

Aplicación incorrecta

Tratara un espacio con singularidades, topología no Hausdorff o sin segunda numerabilidad como una variedad es un uso indebido de la definición; igualmente es incorrecto asumir coordenadas globales o estructura euclidiana global a partir de cartas locales.

Consecuencia

Con la estructura de variedad se pueden definir fibrado tangente, formas diferenciales, integración, campos vectoriales y aplicar topología y geometría diferencial; técnicas local‑a‑global (particiones de la unidad, atlas) pasan a estar disponibles.

Inversión

La inversión es un espacio singular (por ejemplo con puntos cónicos u orbifolds) o un espacio sin cartas locales euclidianas; tales espacios carecen de las herramientas diferenciales estándar y requieren teorías alternativas.

Límite

Aquí 'variedad' implica habitualmente un espacio Hausdorff y de segunda numerabilidad modelado sobre R^n salvo indicación contraria; excluye topologías patológicas y, salvo mención, puntos singulares y espacios no variedad.

Tensión semántica

Hay tensión entre nociones de variedad (topológica, diferenciable, suave, analítica) y conceptos relacionados como complejos CW, variedades algebraicas u orbifolds: se solapan ejemplos, pero difieren en modelos locales y singularidades permitidas.

Síntesis

Una variedad es la estructura que cose cartas locales euclidianas en un espacio global con compatibilidad controlada: proporciona el ámbito en el que el cálculo local y la linealización se extienden al razonamiento geométrico y topológico global bajo condiciones de regularidad y separación.