Surface plane bidimensionnelle qui s'étend indéfiniment, de courbure intrinsèque nulle, contenant toute droite joignant deux de ses points ; formellement une sous-variété affine de dimension deux ou un isomorphisme de R^2.

Principe

Deux points distincts déterminent une droite unique contenue dans le plan ; trois points non colinéaires déterminent le plan. Le parallélisme et les combinaisons linéaires restreintes organisent les relations planaires.

Démonstration

Le plan cartésien R^2 muni des coordonnées (x,y) et de la métrique euclidienne usuelle est un exemple : une droite s'écrit {p + t v : t ∈ R} pour un point p et un vecteur direction v de R^2.

Mauvaise application

Qualifier une portion de surface courbe (par exemple un petit voisinage sphérique) de « plan » parce qu'elle paraît localement plate ignore la courbure intrinsèque et entraîne des erreurs sur les géodésiques et le transport parallèle.

Conséquence

Considérer un objet comme un plan permet d'appliquer la géométrie euclidienne plane, l'algèbre linéaire 2×2 et des représentations en deux coordonnées ; de nombreux résultats sur droites, angles et aires s'appliquent directement.

Inversion

La mise en contraste est une surface bidimensionnelle courbe (variété non plate) ou une droite unidimensionnelle ; inverser la propriété définit des espaces où les géodésiques diffèrent des lignes droites ou présentent une courbure intrinsèque.

Limite

Le terme exclut les surfaces à courbure intrinsèque, les ensembles discrets, et les plats de dimension supérieure ; il suppose une structure affine ou euclidienne plate et n'inclut pas d'ensembles pathologiques non séparés.

Tension sémantique

La tension provient de l'opposition entre « plan » comme sous-espace affine global et « plan tangent » sur une variété courbe : le premier est plat globalement, le second n'est qu'une approximation linéaire locale.

Synthèse

Le plan est le cadre bidimensionnel global et plat de la géométrie euclidienne : déterminé par des conditions simples sur points et droites, il permet un raisonnement linéaire et métrique plan distinct des contextes courbes ou de plus grande dimension.