Superficie plana bidimensional que se extiende indefinidamente, con curvatura intrínseca cero, y que contiene toda recta que une dos de sus puntos; formalmente una subespacio afín de dimensión dos o una copia isomorfa de R^2.

Principio

Dos puntos distintos determinan una recta única contenida en el plano; tres puntos no colineales determinan el plano. El paralelismo y las combinaciones lineales restringidas a dos dimensiones organizan las relaciones planas.

Demostración

El plano cartesiano R^2 con coordenadas (x,y) y la métrica euclidiana habitual es un ejemplo estándar: las rectas se escriben {p + t v : t ∈ R} para un punto fijo p y un vector dirección v en R^2.

Aplicación incorrecta

Llamar plano a una porción de superficie curva (por ejemplo un pequeño parche esférico) porque parece localmente plana ignora la curvatura intrínseca y conduce a errores sobre geodésicas y transporte paralelo.

Consecuencia

Tratar un objeto como plano permite usar la geometría euclidiana plana, el álgebra lineal 2×2 y representaciones con dos coordenadas; muchos teoremas sobre rectas, ángulos y áreas se aplican directamente.

Inversión

La inversión es una superficie bidimensional curva (una variedad no plana) o una recta unidimensional; al invertir la propiedad se obtienen espacios donde las geodésicas difieren de las rectas o existe curvatura intrínseca.

Límite

El término excluye superficies con curvatura intrínseca, conjuntos discretos y planos de mayor dimensión; presupone una estructura afín o euclidiana plana y no incluye conjuntos patológicos no separados.

Tensión semántica

La tensión surge entre 'plano' como subespacio afín global y 'plano tangente' en una variedad curva: el primero es plano globalmente, el segundo es solo una aproximación lineal local.

Síntesis

Un plano es el marco bidimensional global y plano de la geometría euclidiana: determinado por condiciones sencillas sobre puntos y rectas, permite razonamiento lineal y métrico plano distinto de contextos curvos o de mayor dimensión.