Généralisation du théorème des accroissements finis : si f et g sont continues sur [a,b] et dérivables sur (a,b), alors il existe c dans (a,b) tel que (f(b)-f(a)) g'(c) = (g(b)-g(a)) f'(c) ; équivalemment, il existe c où le rapport des accroissements égale le rapport des dérivées si g'(c)≠0.

Principe

Comparer deux fonctions dérivables sur le même intervalle produit un point où leurs rapports de taux de variation moyens coïncident ; l'élimination algébrique d'une combinaison linéaire appropriée donne le point d'existence.

Démonstration

Exemple : prendre f(x)=sin x et g(x)=x sur [0,π] ; alors f(b)-f(a)=0 et g(b)-g(a)=π, donc le théorème assure un c où 0·g'(c)=π f'(c), d'où f'(c)=0 et effectivement en c=π/2 on a cos(π/2)=0, correspondant à l'instance concrète.

Mauvaise application

Réécrire la conclusion comme f'(c)/g'(c)=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) sans vérifier que g'(c) ou g(b)-g(a) sont non nuls peut conduire à des divisions par zéro ; appliquer le théorème lorsque les hypothèses échouent (par ex. non dérivabilité) est une autre erreur fréquente.

Conséquence

Serves comme outil pour dériver la règle de L'Hôpital, comparer des vitesses de croissance de fonctions et établir des identités ou inégalités reliant accroissements et dérivées de fonctions appariées.

Inversion

L'existence d'un point où le rapport des dérivées vaut une certaine valeur n'implique pas en général une relation prescrite entre les accroissements globaux ; le théorème affirme l'existence sous les hypothèses données, pas une équivalence globale réciproque.

Limite

Valable pour des paires de fonctions réelles continues sur [a,b] et dérivables sur (a,b). La forme par ratio doit être interprétée avec prudence lorsque des dénominateurs s'annulent ; les extensions aux fonctions à valeurs vectorielles requièrent des formulations adaptées.

Tension sémantique

Se rapporte au théorème des accroissements finis standard : le TAF classique est le cas particulier g(x)=x. La tension apparaît lorsqu'on traite la conclusion de Cauchy comme une identité pointuelle plutôt que comme une assertion d'existence pour un certain c dans (a,b).

Synthèse

Le théorème des accroissements moyens de Cauchy identifie un point de synchronisation où les accroissements relatifs de deux fonctions dérivables coïncident avec leurs vitesses instantanées relatives ; il généralise le théorème d'une fonction et sous-tend des principes de comparaison comme la règle de L'Hôpital.