Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes: Sind f und g auf [a,b] stetig und auf (a,b) differenzierbar, so gibt es c in (a,b) mit (f(b)-f(a)) g'(c) = (g(b)-g(a)) f'(c); äquivalent existiert c, an dem das Verhältnis der Differenzen dem Verhältnis der Ableitungen entspricht, falls g'(c)≠0.

Prinzip

Der Vergleich zweier differenzierbarer Funktionen über dasselbe Intervall liefert einen Punkt, an dem sich ihre Verhältnisse der mittleren Änderungsraten angleichen; durch algebraische Eliminierung einer geeigneten Linearkombination entsteht der Existenzpunkt.

Demonstration

Beispiel: f(x)=sin x und g(x)=x auf [0,π]; dann ist f(b)-f(a)=0 und g(b)-g(a)=π, somit garantiert der Satz einen c mit 0·g'(c)=π f'(c), also f'(c)=0; tatsächlich gilt bei c=π/2 cos(π/2)=0, ein konkretes Beispiel.

Fehlanwendung

Die Schlussfolgerung als f'(c)/g'(c)=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) umzuformen, ohne zu prüfen, dass g'(c) oder g(b)-g(a) ungleich null sind, kann zu Divisionen durch Null führen; Anwendung des Satzes bei Verletzung der Voraussetzungen (z. B. Nichtdifferenzierbarkeit) ist ebenfalls ein häufiger Missbrauch.

Konsequenz

Dient als Werkzeug zur Herleitung der Regel von L'Hôpital, zum Vergleich von Wachstumsraten und zum Aufstellen von Identitäten oder Ungleichungen, die Differenzen und Ableitungen gepaarter Funktionen verbinden.

Umkehrung

Die Existenz eines Punktes, an dem das Verhältnis der Ableitungen einem bestimmten Wert entspricht, impliziert nicht allgemein eine vorgeschriebene Beziehung zwischen den globalen Differenzen; der Satz behauptet Existenz unter den gegebenen Voraussetzungen, nicht eine umkehrbare globale Äquivalenz.

Abgrenzung

Gilt für Paare reellwertiger Funktionen, die auf [a,b] stetig und auf (a,b) differenzierbar sind. Die Quotientenform ist mit Vorsicht zu interpretieren, wenn Nenner verschwinden; Erweiterungen auf vektorwertige Funktionen erfordern angepasste Formulierungen.

Semantische Spannung

Bezieht sich auf den klassischen Mittelwertsatz: Der gewöhnliche MWS ist der Spezialfall g(x)=x. Spannung entsteht, wenn Caychys Schlussfolgerung als punktweises Identitätsverhältnis anstatt als Existenzbehauptung für ein c in (a,b) missverstanden wird.

Synthese

Der cauchysche Mittelwertsatz identifiziert einen Synchronisationspunkt, an dem die relativen Differenzen zweier differenzierbarer Funktionen mit ihren relativen momentanen Änderungsraten übereinstimmen; er verallgemeinert den Einzel‑Funktions‑Mittelwertsatz und bildet die Grundlage für Vergleichsprinzipien wie L'Hôpital.