Résultat fournissant une approximation polynomiale d'une fonction suffisamment régulière autour d'un point, accompagnée d'un terme de reste qui quantifie l'erreur d'approximation (plusieurs formes équivalentes du reste existent, comme la forme de Lagrange ou la forme intégrale).

Principe

Le comportement local des fonctions lisses peut être capté par des polynômes de degré fini ; les dérivées d'ordre supérieur contrôlent l'ordre du reste et donc la qualité de l'approximation.

Démonstration

Exemple : pour f(x)=e^x développée autour de 0, le polynôme de Taylor d'ordre n est somme_{k=0}^n x^k/k! et le reste R_n(x) peut être majoré par e^ξ|x|^{n+1}/(n+1)! pour un certain ξ entre 0 et x, illustrant le contrôle concret de l'erreur.

Mauvaise application

Tronquer la série et considérer le polynôme comme égal à la fonction hors du rayon de convergence ou lorsque la fonction est lisse mais non analytique ; cette mauvaise application peut conduire à d'importantes erreurs d'approximation.

Conséquence

Fournit un outil pratique pour approximer des fonctions, obtenir des développements asymptotiques, effectuer des calculs numériques avec bornes d'erreur et démontrer des comportements locaux qualitatifs (par ex. classification des points critiques via le développement de Taylor).

Inversion

Si le terme de reste est identiquement nul sur un intervalle alors la fonction coïncide avec son polynôme de Taylor là‑bas, ce qui caractérise les polynômes d'ordre borné ; inversement, la possibilité d'être approché par des polynômes n'implique pas toujours l'analyticité.

Limite

Nécessite la dérivabilité jusqu'à l'ordre n+1 (pour le reste de Lagrange) sur un intervalle autour du point d'expansion ; il faut distinguer fonctions lisses (C^∞) et analytiques — la convergence de la série de Taylor vers la fonction n'est pas automatique pour les fonctions lisses.

Tension sémantique

Des sens concurrents apparaissent entre le polynôme de Taylor fini (approximation avec reste explicite) et la série de Taylor infinie (série de puissances dont la convergence vers la fonction définit l'analyticité) ; les confondre entraîne des erreurs sur la validité des manipulations terme à terme et des affirmations de convergence.

Synthèse

Le théorème de Taylor regroupe l'information fournie par les dérivées locales en un polynôme plus un reste contrôlé : les dérivées jusqu'à l'ordre n déterminent l'approximation polynomiale et la dérivée suivante bornant l'erreur, unifiant approximation, estimation d'erreur et analyse locale qualitative.