Resultado que ofrece una aproximación polinómica de una función suficientemente suave alrededor de un punto, junto con un término de resto que cuantifica el error de aproximación (existen varias formas equivalentes del resto, como la de Lagrange y la integral).

Principio

El comportamiento local de las funciones suaves puede capturarse por polinomios de grado finito; las derivadas de orden superior controlan el tamaño del error y por tanto la calidad de la aproximación.

Demostración

Ejemplo: para f(x)=e^x desarrollada en torno a 0, el polinomio de Taylor de orden n es Σ_{k=0}^n x^k/k! y el resto R_n(x) puede acotarse por e^ξ|x|^{n+1}/(n+1)! para algún ξ entre 0 y x, mostrando el control concreto del error.

Aplicación incorrecta

Truncar la serie y tratar el polinomio como igual a la función fuera del radio de convergencia o cuando la función es suave pero no analítica; esta mala aplicación conduce a errores de aproximación significativos.

Consecuencia

Proporciona una herramienta práctica para aproximar funciones, obtener desarrollos asintóticos, realizar cálculos numéricos con cotas de error y probar comportamientos locales cualitativos (p. ej., clasificación de puntos críticos mediante el desarrollo de Taylor).

Inversión

Si el término de resto es idénticamente cero en un intervalo, la función coincide allí con su polinomio de Taylor, lo que caracteriza a los polinomios de grado acotado; por el contrario, la aproximabilidad por polinomios no implica necesariamente analiticidad.

Límite

Requiere diferenciabilidad hasta el orden n+1 (para el resto de Lagrange) en un intervalo alrededor del punto de expansión; hay que distinguir entre funciones suaves (C^∞) y analíticas — la convergencia de la serie de Taylor hacia la función no es automática para funciones suaves.

Tensión semántica

Surgen significados en tensión entre el polinomio de Taylor finito (una aproximación con resto explícito) y la serie de Taylor infinita (serie de potencias cuya convergencia a la función define analiticidad); confundirlos produce errores sobre la validez de manipulaciones término a término y afirmaciones de convergencia.

Síntesis

El teorema de Taylor empaqueta la información local de las derivadas en un polinomio más un resto controlado: las derivadas hasta orden n determinan el aproximante polinómico y la derivada siguiente acota el error, unificando aproximación, estimación de error y análisis cualitativo local.