Paire de résultats reliant dérivation et intégration : (1) si f est intégrable sur [a,b] et F(x)=∫_a^x f(t) dt alors F est continue et F'(x)=f(x) presque partout sous des conditions légères ; (2) si F est une primitive de f sur [a,b] alors ∫_a^b f(x) dx = F(b)-F(a).

Principe

La dérivation et l'intégration définie sont des opérations inverses sous une régularité appropriée : construire l'intégrale de f fournit une primitive ; évaluer une intégrale définie se fait par la différence de primitives.

Démonstration

Exemple : pour f(x)=2x, une primitive est F(x)=x^2. Alors ∫_1^3 2x dx = F(3)-F(1) = 9-1 = 8 ; de même la fonction x↦∫_1^x 2t dt a pour dérivée 2x. Cela illustre concrètement les deux parties.

Mauvaise application

Utiliser des primitives pour calculer une intégrale définie quand f n'est pas intégrable selon le sens utilisé, ou permuter dérivation et intégration sans vérifier la convergence uniforme ou la différentiabilité sous le signe intégral ; ces abus peuvent donner des valeurs erronées.

Conséquence

Fournit la méthode standard pour évaluer les intégrales définies via des primitives et justifie de nombreuses manipulations qui échangent dérivation et intégration en contextes appliqués et théoriques.

Inversion

La réciproque naïve — toute fonction dont la dérivée est f est automatiquement une intégrale de f par rapport à tout point de départ — échoue sans conditions d'intégrabilité et de régularité ; deux primitives diffèrent toujours d'une constante.

Limite

Exige des hypothèses d'intégrabilité (Riemann ou Lebesgue) et une différentiabilité/continuité appropriée. Les formulations techniques précises varient selon qu'on travaille dans le cadre de Riemann ou de Lebesgue et selon les discontinuités autorisées.

Tension sémantique

Tension entre les deux parties (existence d'une primitive via l'intégration vs usage d'une primitive pour calculer une intégrale) et entre formulations Riemann/Lebesgue ; l'usage erroné provient souvent d'avoir négligé les hypothèses nécessaires pour l'échange de limites et de dérivées.

Synthèse

Le théorème fondamental du calcul unit les procédés d'accumulation d'aire et de mesure du taux de variation : intégrer une fonction reconstruit une primitive, et évaluer la différence d'une primitive calcule l'accumulation totale — ensemble ils établissent que, sous régularité appropriée, intégration et dérivation sont des opérations inverses.