Par de resultados que conectan diferenciación e integración: (1) si f es integrable en [a,b] y F(x)=∫_a^x f(t) dt entonces F es continua y bajo condiciones suaves F'(x)=f(x) casi en todas partes; (2) si F es cualquier antiderivada de f en [a,b] entonces ∫_a^b f(x) dx = F(b)-F(a).

Principio

La diferenciación y la integración definida son operaciones inversas bajo regularidad adecuada: construir la integral de f produce una antiderivada; evaluar una integral definida puede hacerse por la diferencia de una antiderivada.

Demostración

Ejemplo: para f(x)=2x, una antiderivada es F(x)=x^2. Entonces ∫_1^3 2x dx = F(3)-F(1) = 9-1 = 8; además la función x↦∫_1^x 2t dt tiene derivada 2x. Esto muestra ambas partes de forma concreta.

Aplicación incorrecta

Usar antiderivadas para calcular una integral definida cuando f no es integrable en el sentido requerido, o intercambiar derivación e integración sin comprobar la convergencia uniforme o la diferenciabilidad bajo el signo integral; estos usos indebidos pueden producir resultados incorrectos.

Consecuencia

Proporciona el método estándar para evaluar integrales definidas mediante antiderivadas y justifica muchas manipulaciones que intercambian diferenciación e integración en contextos aplicados y teóricos.

Inversión

La recíproca ingenua —toda función cuya derivada es f es automáticamente una integral de f respecto de cualquier punto de inicio— falla sin condiciones de integrabilidad y regularidad; dos antiderivadas difieren siempre por una constante.

Límite

Requiere hipótesis sobre integrabilidad (Riemann o Lebesgue) y diferenciabilidad/continuidad adecuada. Las formulaciones técnicas precisas varían según se trabaje en el marco de Riemann o de Lebesgue y según las discontinuidades permitidas.

Tensión semántica

Tensión entre las dos partes (existencia de antiderivada vía integración vs uso de una antiderivada para calcular integrales) y entre las formulaciones Riemann/Lebesgue; el uso práctico incorrecto suele derivar de pasar por alto las hipótesis necesarias para intercambiar límites y derivadas.

Síntesis

El teorema fundamental del cálculo une los procedimientos de acumulación de área y medición del cambio instantáneo: integrar una función recupera una antiderivada, y evaluar diferencias de una antiderivada calcula la acumulación total —juntos establecen que, bajo la regularidad adecuada, integración y diferenciación son procesos inversos.