Énoncé selon lequel une fonction continue à valeurs réelles sur un intervalle fermé [a,b] prend toutes les valeurs entre f(a) et f(b) : pour toute valeur v comprise entre f(a) et f(b) il existe c∈[a,b] tel que f(c)=v.

Principe

La continuité sur un domaine connexe (un intervalle) empêche les sauts des valeurs intermédiaires ; l'image d'un ensemble connexe par une application continue est connexe, donc un intervalle contenant toutes les valeurs intermédiaires réelles.

Démonstration

Si f est continue sur [0,1] avec f(0)=-1 et f(1)=2, alors il existe c∈[0,1] tel que f(c)=0 ; c'est l'argument d'existence utilisé dans les méthodes de recherche de zéros comme la bissection.

Mauvaise application

Appliquer le théorème à des fonctions discontinues ou à des domaines disjoints ; par exemple, une fonction avec une discontinuité de saut entre a et b n'a pas à prendre les valeurs intermédiaires.

Conséquence

Garantit l'existence de zéros et de solutions intermédiaires et fonde des algorithmes de recherche de racines ; assure que l'image d'un intervalle est un intervalle et soutient la préservation de la connexité par des applications continues.

Inversion

Il existe des fonctions ayant la propriété des valeurs intermédiaires sans être continues (fonctions de Darboux), donc la réciproque est fausse ; en revanche la discontinuité peut détruire la propriété des valeurs intermédiaires.

Limite

Nécessite un domaine connexe (généralement un intervalle) et la continuité sur ce domaine ; ne s'applique pas aux fonctions à valeurs dans des espaces non ordonnés sans notion d'intermédiaire et exclut les subtilités des domaines ouverts ou non compacts sans prolongement de la continuité.

Tension sémantique

Tension avec la propriété de Darboux : la continuité implique la propriété des valeurs intermédiaires, mais celle-ci n'implique pas la continuité ; tension également avec la monotonie, qui garantit les valeurs intermédiaires via la structure d'ordre.

Synthèse

Le théorème relie la connexité topologique et la continuité pour produire l'existence de valeurs intermédiaires : une fonction continue sur un intervalle ne peut omettre de valeurs intermédiaires, permettant l'existence de racines et la conservation de la structure d'intervalle dans l'image.