La afirmación de que una función continua con valores reales en un intervalo cerrado [a,b] alcanza todo valor entre f(a) y f(b): para cualquier v entre f(a) y f(b) existe c en [a,b] con f(c)=v.

Principio

La continuidad en un dominio conectado (un intervalo) impide saltos sobre valores intermedios; la imagen de un conjunto conectado por una aplicación continua es conectada y por tanto un intervalo que contiene todos los valores intermedios.

Demostración

Si f es continua en [0,1] con f(0)=-1 y f(1)=2, entonces existe c∈[0,1] con f(c)=0; este es el argumento de existencia estándar usado en métodos de búsqueda de raíces como la bisección.

Aplicación incorrecta

Aplicar el teorema a funciones discontinuas o a dominios desconectados; por ejemplo, una función con un salto entre a y b no tiene por qué tomar los valores intermedios.

Consecuencia

Garantiza la existencia de ceros y soluciones intermedias y fundamenta algoritmos de localización de raíces; asegura que las imágenes de intervalos son intervalos y respalda la preservación de la conectividad por aplicaciones continuas.

Inversión

Existen funciones que tienen la propiedad de valores intermedios sin ser continuas (funciones de Darboux), por lo que la recíproca es falsa; la discontinuidad puede, en cambio, destruir la propiedad de valores intermedios.

Límite

Requiere un dominio conectado (generalmente un intervalo) y continuidad en dicho dominio; no se aplica a funciones con valores en espacios no ordenados sin una noción apropiada de intermediarios y excluye sutilezas de dominios abiertos o no compactos salvo que la continuidad se extienda.

Tensión semántica

Tensión con la propiedad de Darboux: la continuidad implica la propiedad de valores intermedios, pero ésta no implica continuidad; también hay tensión con la monotonicidad, que asegura valores intermedios por la estructura de orden.

Síntesis

El teorema vincula la conectividad topológica y la continuidad para producir la existencia de valores intermedios: una función continua en un intervalo no puede omitir valores intermedios, permitiendo pruebas de existencia de raíces y preservando la estructura de intervalo en la imagen.