Une fonction ω : [0,∞) → [0,∞) qui associe à chaque échelle δ le supremum de |f(x)-f(y)| pour toutes les paires de points à distance au plus δ ; elle quantifie l'oscillation maximale de f à cette échelle.

Principe

Caractériser le contrôle uniforme des variations selon les échelles : de petites valeurs de ω(δ) pour de petits δ expriment la continuité uniforme, et certaines formes (par ex. ω(δ)=Lδ) traduisent la régularité Lipschitz ou Hölder.

Démonstration

Pour une fonction Lipschitz de constante L, le module est ω(δ)=L·δ. Pour f(x)=√x sur [0,1], un module admissible est ω(δ)=√δ, montrant un comportement Hölder d'exposant 1/2.

Mauvaise application

Remplacer le supremum global par l'oscillation en un point ou confondre le module avec une dérivée ; ou supposer une forme donnée de ω sans vérifier le supremum sur toutes les paires.

Conséquence

Un module ω tel que ω(δ)→0 quand δ→0 est équivalent à la continuité uniforme ; des modules explicites fournissent des taux quantitatifs de convergence pour les approximations et contrôlent l'erreur dans les schémas numériques.

Inversion

Plutôt que de mesurer l'oscillation maximale à l'échelle δ, mesurer l'oscillation minimale ou des taux ponctuels ne rend pas compte du comportement uniforme global et peut s'annuler trivialement.

Limite

Défini pour des fonctions sur des espaces métriques où les distances de paires sont définies ; dépend de la métrique et n'indique pas directement la différentiabilité ni le comportement local au-delà de l'oscillation selon l'échelle.

Tension sémantique

Tension avec le module de continuité point par point : le module global impose un contrôle uniforme sur tout le domaine, tandis que les variantes ponctuelles ne reflètent que des taux locaux et peuvent diverger.

Synthèse

Le module de continuité concentre en une fonction monotone ω(δ) l'oscillation maximale selon l'échelle d'une fonction ; son comportement pour δ petit distingue la continuité uniforme et des régularités plus fines comme Lipschitz ou Hölder.