Eine Funktion ω: [0,∞) → [0,∞), die jeder Skala δ das Supremum von |f(x)-f(y)| über alle Paare mit Abstand ≤ δ zuordnet; sie quantifiziert die maximale Oszillation von f auf dieser Skala.

Prinzip

Uniforme Kontrollgrößen der Variationen nach Skalen charakterisieren: kleine Werte ω(δ) für kleine δ drücken gleichmäßige Stetigkeit aus; spezielle Wachstumsformen (z. B. ω(δ)=Lδ) kennzeichnen Lipschitz- oder Hölder-Regularität.

Demonstration

Bei einer Lipschitz-Funktion mit Konstante L ist das Modulus ω(δ)=L·δ. Für f(x)=√x auf [0,1] ist ein zulässiges Modulus ω(δ)=√δ, was Hölder-1/2-Verhalten anzeigt.

Fehlanwendung

Das globale Supremum durch punktweise Oszillation verwechseln oder das Modulus mit einer Ableitung gleichsetzen; ebenso ungeprüft eine Form von ω annehmen ohne Supremumsberechnung.

Konsequenz

Ein Modulus ω mit ω(δ)→0 für δ→0 ist äquivalent zur gleichmäßigen Stetigkeit; explizite Modi liefern quantitative Konvergenzraten für Approximationen und kontrollieren Fehler in numerischen Verfahren.

Umkehrung

Statt die maximale Oszillation auf Skala δ zu messen, minimale Oszillationen oder punktweise Raten zu betrachten erfasst nicht das globale gleichmäßige Verhalten und kann trivialerweise verschwinden.

Abgrenzung

Definiert für Funktionen auf metrischen Räumen, in denen Paarabstände sinnvoll sind; abhängig von der Metrik und liefert keine direkten Aussagen zur Differenzierbarkeit oder zum lokalen Verhalten jenseits der skalenbasierten Oszillation.

Semantische Spannung

Spannung zum punktweisen Kontinuitätsmodul: Das globale Modulus verlangt gleichmäßige Kontrolle über den gesamten Definitionsbereich, während punktuelle Varianten nur lokale Raten wiederspiegeln und abweichen können.

Synthese

Das Stetigkeitsmodul fasst die skalenabhängige maximale Oszillation einer Funktion in der monotonen Funktion ω(δ) zusammen; ihr Verhalten für kleine δ trennt gleichmäßige Stetigkeit von feineren Regularitätsklassen wie Lipschitz oder Hölder.