Notion plus faible et directionnelle de différentiabilité : en un point x, la dérivée directionnelle selon chaque vecteur v existe, c’est‑à‑dire la limite lim_{t→0}(f(x+tv)-f(x))/t existe pour tout v. Elle enregistre des taux directionnels du premier ordre mais n’impose pas a priori un unique approximant linéaire borné.

Principe

L’idée organisatrice est l’existence ponctuelle de limites directionnelles dans toutes les directions ; la linéarité ou la bornitude de l’application v↦D_f(x)(v) peut être une propriété supplémentaire et non automatique. La différentiabilité de Gâteaux mesure la sensibilité directionnelle plutôt qu’une approximation linéaire uniforme.

Démonstration

Exemple : f: R→R, f(x)=|x| en x=0. La dérivée directionnelle selon chaque v existe (pentes à droite et à gauche), donc les taux directionnels existent, mais il n’existe pas d’application linéaire unique qui approxime f en 0, ce qui montre l’échec de Fréchet malgré l’existence de dérivées directionnelles.

Mauvaise application

Considérer que l’existence de dérivées directionnelles suffit pour appliquer des règles de calcul nécessitant la différentiabilité de Fréchet (par exemple l’emploi d’une matrice jacobienne et d’estimations de continuité) ; en contexte infini‑dimensionnel cela peut conduire à des conclusions erronées sur la stabilité ou la linéarisation.

Conséquence

Lorsque s’y ajoutent la linéarité (l’application v↦D_f(x)(v) est linéaire) et la continuité appropriée, la différentiabilité de Gâteaux se relève en différentiabilité de Fréchet. C’est souvent un premier test en analyse fonctionnelle pour étudier la différentiabilité par directions.

Inversion

La situation contraire est une fonction Fréchet‑différentiable (donc directionnellement différentiable) dont les seules dérivées directionnelles pourraient masquer la propriété d’approximation linéaire uniforme ; connaître tous les taux directionnels est une information plus faible que connaître une dérivée linéaire bornée.

Limite

Définie pour des applications sur des espaces vectoriels (souvent normés) ; elle requiert des limites le long de rayons mais n’exige pas d’uniformité en v ni la bornitude de l’opérateur dérivatif directionnel. Elle exclut les affirmations sur le contrôle de l’erreur sauf si l’on suppose une continuité supplémentaire.

Tension sémantique

La tension existe avec la différentiabilité de Fréchet et d’autres notions ponctuelles : Gâteaux capture l’information directionnelle et peut exister sans structure linéaire ou continue, tandis que Fréchet exige un seul approximant linéaire borné ; la confusion entre elles est une source d’erreurs fréquente.

Synthèse

La différentiabilité de Gâteaux affirme l’existence de limites directionnelles du premier ordre dans chaque direction, fournissant des taux directionnels ; avec linéarité et continuité de l’application directionnelle, elle se rehausse en dérivée de Fréchet.