Una noción más débil y direccional de diferenciabilidad: en un punto x existe la derivada direccional a lo largo de cada vector v, es decir, el límite lim_{t→0}(f(x+tv)-f(x))/t existe para todo v. Registra tasas direccionales de primer orden pero no exige en principio un único aproximante lineal acotado.

Principio

La idea organizadora es la existencia puntual de límites direccionales en todas las direcciones; la linealidad o acotamiento de la aplicación v↦D_f(x)(v) pueden ser propiedades adicionales y no automáticas. La diferenciabilidad de Gâteaux capta la sensibilidad direccional más que la aproximación lineal uniforme.

Demostración

Ejemplo: f:R→R, f(x)=|x| en x=0. La derivada direccional a lo largo de cada v existe (pendientes derecha e izquierda), pero no existe un único mapa lineal que aproxime f en 0, lo que muestra la falla de Fréchet pese a la existencia de derivadas direccionales.

Aplicación incorrecta

Tratar la existencia de derivadas direccionales como suficiente para aplicar reglas de cálculo que requieren diferenciabilidad de Fréchet (p. ej. usar una matriz Jacobiana y estimaciones de continuidad); en contextos de dimensión infinita esto puede conducir a conclusiones erróneas sobre estabilidad o linealización.

Consecuencia

Si se añade la linealidad (v↦D_f(x)(v) es lineal) y la continuidad adecuada, la diferenciabilidad de Gâteaux asciende a diferenciabilidad de Fréchet. Suele ser la primera prueba en análisis funcional para estudiar la diferenciabilidad por direcciones.

Inversión

La inversa es una función diferenciable en el sentido de Fréchet (por tanto direccionalmente diferenciable) cuyas únicas derivadas direccionales podrían ocultar la propiedad de aproximación lineal uniforme; conocer todas las tasas direccionales es información más débil que conocer una derivada lineal acotada.

Límite

Se define para aplicaciones sobre espacios vectoriales (a menudo normados); requiere límites a lo largo de rayos pero no exige uniformidad en v ni acotamiento del operador derivativo direccional. Excluye afirmaciones sobre control del error salvo que se suponga continuidad adicional.

Tensión semántica

La tensión aparece frente a la diferenciabilidad de Fréchet y frente a nociones puntuales más débiles: Gâteaux puede existir sin estructura lineal o continua, mientras que Fréchet exige un único aproximante lineal acotado; la confusión entre ellas es una fuente común de errores.

Síntesis

La diferenciabilidad de Gâteaux afirma la existencia de límites direccionales de primer orden en cada dirección, proporcionando tasas direccionales de cambio; con linealidad y continuidad de la aplicación direccional asciende a la derivada de Fréchet.