Le théorème et la méthode qui permettent de faire passer la limite sous le signe intégral : si une suite de fonctions mesurables f_n converge presque partout point par point vers f et s'il existe une fonction intégrable g telle que |f_n| ≤ g presque partout pour tout n, alors ∫ f_n → ∫ f et f est intégrable.

Principe

Idée organisatrice : une borne intégrable uniforme (fonction dominatrice) contrôle oscillations et concentration, autorisant l'échange limite/intégrale via le théorème de convergence dominée ; la domination empêche l'échappement de masse à la limite.

Démonstration

Exemple : poser f_n = χ_{[0,1/n]}(x)/√x sur (0,1]. Bien que f_n se concentre près de 0, si l'on trouve une g intégrable dominant toutes les f_n alors ∫ f_n → ∫ f ; en revanche, sans telle g les contre-exemples montrent que la limite des intégrales peut différer de l'intégrale de la limite.

Mauvaise application

Employer la convergence dominée sans une fonction dominatrice intégrable valide ou lorsque la convergence n'est pas presque partout point par point ; erreurs courantes : se fier uniquement à la convergence pointwise ou utiliser des majorants non intégrables.

Conséquence

Un usage correct donne la convergence en L1 et justifie le passage des limites sous les intégrales en analyse, probabilité et EDP ; c'est un outil principal pour établir la continuité de constructions dépendant d'intégrales.

Inversion

Le théorème de convergence monotone est un complément différent : sous monotonie (suite croissante de fonctions non négatives) on peut passer les limites sans une g dominatrice, mais monotonie et domination sont des hypothèses distinctes aux domaines d'application différents.

Limite

S'applique dans un cadre mesurable pour des fonctions mesurables et requiert une fonction dominatrice intégrable et une convergence pointwise presque partout ; ne s'applique pas à des limites non mesurables ni à des suites dépourvues de borne en L1.

Tension sémantique

Tension entre convergence dominée et convergence uniforme : la convergence uniforme garantit trivialement l'échange de limite, mais la convergence dominée couvre de nombreuses situations non uniformes ; tension aussi avec les notions de convergence faible qui n'entraînent pas la convergence des intégrales de fonctions non linéaires.

Synthèse

La convergence dominée est le critère rigoureux selon lequel une borne intégrable uniforme plus la convergence pointwise p.p. impliquent la convergence en L1 et permettent d'échanger limite et intégrale, assurant de nombreuses procédures limites en analyse moderne.