El teorema y método que permiten pasar el límite dentro de una integral: si una sucesión de funciones medibles f_n converge puntowise casi en todas partes a f y existe una función integrable g con |f_n| ≤ g casi por todas partes para todo n, entonces ∫ f_n → ∫ f y f es integrable.

Principio

Idea clave: una cota integrable uniforme (función dominadora) controla la oscilación y la concentración, permitiendo intercambiar límite e integral mediante el teorema de convergencia dominada; la dominación evita la fuga de masa en la límite.

Demostración

Ejemplo: tomar f_n = χ_{[0,1/n]}(x)/√x en (0,1]. Aunque f_n se concentra cerca de 0, si existe una g integrable que domine a todas las f_n entonces ∫ f_n → ∫ f; en cambio, sin tal g hay contraejemplos donde el límite de las integrales no coincide con la integral del límite.

Aplicación incorrecta

Usar convergencia dominada sin una función dominadora integrable válida o cuando la convergencia no es puntowise casi en todas partes; errores comunes incluyen fiarse solo de la convergencia puntual o usar mayores no integrables.

Consecuencia

El uso adecuado proporciona convergencia en L1 y justifica pasar límites por integrales en análisis, probabilidad y EDPs; es una herramienta principal para establecer continuidad de construcciones dependientes de integrales.

Inversión

El teorema de convergencia monótona es complementario pero distinto: bajo monotonía (sucesión creciente de funciones no negativas) se puede pasar límites sin una g dominadora, pero monotonía y dominación son hipótesis diferentes con aplicaciones distintas.

Límite

Se aplica en contextos medibles para funciones medibles y requiere una función dominadora integrable y convergencia puntowise casi en todas partes; no se aplica a límites no medibles ni a sucesiones sin cota en L1.

Tensión semántica

Tensión entre convergencia dominada y convergencia uniforme: la convergencia uniforme garantiza trivialmente el intercambio de límite, pero la convergencia dominada cubre muchos casos no uniformes; también tensión con nociones de convergencia débil que no implican la convergencia de integrales de funciones no lineales.

Síntesis

La convergencia dominada es el criterio riguroso por el que una cota integrable uniforme más la convergencia puntowise p.c. implican convergencia en L1 y permiten intercambiar límite e integral, asegurando numerosos procedimientos límite en el análisis moderno.