L'identité transformant l'intégrale d'un produit de fonctions en un terme aux limites moins l'intégrale d'une fonction multipliée par la dérivée de l'autre : ∫ u dv = uv − ∫ v du, valable sous des conditions appropriées de différentiabilité et d'intégrabilité.

Principe

C'est la forme intégrale de la règle du produit : comme (uv)' = u'v + uv', l'intégration des deux membres donne l'identité d'intégration par parties ; la méthode échange la dérivation d'un facteur contre l'intégration de l'autre.

Démonstration

Pour calculer ∫ ln(x) dx sur (1,a), poser u = ln(x), dv = dx. Alors du = dx/x et v = x, donnant ∫ ln(x) dx = x ln(x) − ∫ x · (1/x) dx = x ln(x) − x + C.

Mauvaise application

Appliquer l'intégration par parties sans s'assurer que le terme aux limites uv soit fini ou que v et du soient intégrables ; une application répétée sans amélioration de l'intégrabilité peut produire des expressions divergentes ou mal définies.

Conséquence

Bien appliquée, l'intégration par parties simplifie les intégrales, fournit des réductions pour les fonctions spéciales, donne des formulations faibles des équations différentielles et sous-tend les définitions de dérivées distributionnelles et d'espaces de Sobolev.

Inversion

La vue inverse consiste à déduire la règle du produit à partir de l'identité intégrale, ou à considérer l'IPP comme l'intégration de la dérivée d'un produit ; omettre les termes aux bornes inverse l'égalité en introduisant des contributions limites manquantes.

Limite

Exige que u soit absolument continue (ou différentiable avec dérivée intégrable) et que v soit une primitive de dv avec intégrabilité adaptée pour que uv et ∫ v du soient définis ; ne s'applique pas naïvement à des facteurs purement distributionnels sans réinterprétation.

Tension sémantique

Tension entre l'intégration par parties comme manipulation algébrique formelle et son usage rigoureux dans des espaces de dérivées faibles : en calcul classique, les bornes et l'intégrabilité sont explicites, tandis qu'en théorie de Sobolev on reformule l'IPP comme dualité.

Synthèse

L'intégration par parties convertit une intégrale de produit en termes aux limites plus une intégrale plus simple en utilisant la règle du produit ; son application rigoureuse dépend du comportement aux bornes et de l'intégrabilité et relie le calcul élémentaire aux cadres de dérivées faibles.