La identidad que transforma la integral de un producto de funciones en un término de contorno menos la integral de una función por la derivada de la otra: ∫ u dv = uv − ∫ v du, válida bajo condiciones apropiadas de diferenciabilidad e integrabilidad.

Principio

Es la forma integral de la regla del producto: puesto que (uv)' = u'v + uv', integrar ambos lados conduce a la fórmula de integración por partes; el método intercambia la diferenciación de un factor por la integración del otro.

Demostración

Para calcular ∫ ln(x) dx en (1,a), tomar u = ln(x), dv = dx. Entonces du = dx/x y v = x, obteniendo ∫ ln(x) dx = x ln(x) − ∫ x·(1/x) dx = x ln(x) − x + C.

Aplicación incorrecta

Aplicar integración por partes sin asegurarse de que el término de contorno uv sea finito o que v y du sean integrables; la aplicación repetida sin mejorar la integrabilidad puede producir expresiones divergentes o mal definidas.

Consecuencia

Bien aplicada, la integración por partes simplifica integrales, proporciona reducciones para funciones especiales, ofrece formulaciones débiles de ecuaciones diferenciales y sustenta definiciones de derivadas en el sentido de distribuciones y espacios de Sobolev.

Inversión

La perspectiva inversa es derivar la regla del producto a partir de la identidad integral, o ver la integración por partes como la integración de la derivada de un producto; omitir los términos de los extremos invierte la igualdad al introducir contribuciones límite ausentes.

Límite

Requiere que u sea absolutamente continua (o diferenciable con derivada integrable) y que v sea una primitiva de dv con integrabilidad adecuada para que uv y ∫ v du estén definidos; no se aplica de forma ingenua a factores puramente distribucionales sin reinterpretación.

Tensión semántica

Tensión entre la integración por partes como manipulación algebraica formal y su uso riguroso en espacios de derivadas débiles: en cálculo clásico los extremos y la integrabilidad son explícitos, mientras que en teoría de Sobolev la IPP se plantea como dualidad.

Síntesis

La integración por partes convierte una integral de producto en términos de contorno más una integral más simple usando la regla del producto; su aplicación rigurosa depende del comportamiento en los extremos y de la integrabilidad, y conecta el cálculo elemental con marcos de derivadas débiles.