Un espace topologique où chaque point a une base de voisinages composée d'ensembles dont les adhérences sont compactes ; de façon équivalente, chaque point possède un voisinage dont l'adhérence est compacte.

Principe

La localement compacité isole un comportement compact à petite échelle : bien que l'espace global ne soit pas nécessairement compact, chaque point admet des régions voisines qui se comportent comme des espaces compacts, permettant des constructions local-à-global comme la compactification par point-à-l'infini sous des axiomes de séparation supplémentaires.

Démonstration

L'espace euclidien R^n est localement compact car tout point possède une petite boule fermée dont l'adhérence (la boule fermée) est compacte dans R^n ; un groupe topologique localement compact admet souvent une mesure de Haar et une riche analyse harmonique.

Mauvaise application

Confondre la localement compacité avec la compacité globale ou avec une simple local finitude est une erreur ; un espace peut être localement compact et non compact globalement (par ex. R) et la localement compacité ne garantit pas des propriétés comme la compacité dénombrable ou la propriété de Lindelöf.

Conséquence

La localement compacité associée à la séparation Hausdorff fournit des outils utiles : existence de la compactification par point, partitions de l'unité adaptées à des recouvrements localement finis en théorie des variétés, et applicabilité des mesures et techniques d'intégration sur des groupes localement compacts.

Inversion

La négation — aucun point n'a de voisinage dont l'adhérence soit compacte — produit des espaces dépourvus de petits modèles compacts et empêche de nombreuses constructions locales basées sur la compacité ; cela est fréquent dans certaines topologies d'espaces de dimension infinie.

Limite

La localement compacité est une propriété topologique locale et n'implique pas la compacité globale, la métrisabilité ou des axiomes de dénombrabilité ; elle est souvent considérée conjointement avec la séparation Hausdorff (ou T2), car beaucoup de conséquences standard requièrent la séparation.

Tension sémantique

Localement compact vs σ-compact : σ-compact signifie être réunion dénombrable d'ensembles compacts, ce qui est global et plus fort que la seule localement compacité ; localement compact vs paracompact : notions distinctes en théorie des variétés — chacune interagit différemment avec séparabilité et propriétés de recouvrement.

Synthèse

Un espace localement compact garantit que chaque point se trouve dans un voisinage dont l'adhérence est compacte, fournissant des modèles compacts locaux qui rendent disponibles des outils de la théorie des espaces compacts au niveau local sans exiger la compacité globale.