Definición
Un espacio topológico en el que cada punto tiene una base de vecindarios formada por conjuntos cuyas clausuras son compactas; equivalentemente, cada punto posee algún vecindario con clausura compacta.
Principio
Principio
La compacidad local aísla el comportamiento compacto a pequeña escala: aunque el espacio entero no sea compacto, cada punto admite regiones cercanas que se comportan como espacios compactos, permitiendo construcciones locales a globales como la compactificación por un punto bajo axiomas de separación adicionales.
Demostración
Demostración
El espacio euclidiano R^n es localmente compacto porque cada punto tiene una pequeña bola cerrada cuya clausura (la bola cerrada) es compacta en R^n; un grupo topológico localmente compacto suele admitir una medida de Haar y un rico análisis armónico.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Confundir la compacidad local con la compacidad global o con mera finitud local es un error; un espacio puede ser localmente compacto y no compacto globalmente (por ejemplo, R) y la compacidad local no garantiza propiedades como compacidad numerable o la propiedad de Lindelöf.
Consecuencia
Consecuencia
La compacidad local con separación Hausdorff aporta herramientas útiles: existencia de la compactificación por un punto, particiones de la unidad subordinadas a coberturas localmente finitas en teoría de variedades y la aplicabilidad de medidas y técnicas de integración en grupos localmente compactos.
Inversión
Inversión
La negación — ningún punto tiene vecindario con clausura compacta — produce espacios sin pequeños modelos compactos e impide muchas construcciones locales basadas en la compacidad; esto es típico en algunas topologías de dimensión infinita.
Límite
Límite
La compacidad local es una propiedad topológica local y no implica compacidad global, metrizabilidad ni axiomas de contabilidad; suele considerarse junto con Hausdorff (T2), porque muchas consecuencias estándar requieren separación.
Tensión semántica
Tensión semántica
Localmente compacto vs σ-compacto: σ-compacto significa ser unión numerable de conjuntos compactos, lo cual es una condición global y más fuerte que la sola compacidad local; localmente compacto vs paracompacto: nociones distintas en teoría de variedades — cada una interactúa de forma diferente con separabilidad y propiedades de cobertura.
Síntesis
Síntesis
Un espacio localmente compacto garantiza que cada punto se sitúe dentro de un vecindario cuya clausura es compacta, aportando modelos compactos locales que hacen aplicables herramientas de la teoría de espacios compactos a nivel vecindario sin exigir compacidad global.