Un ensemble X muni d'une fonction d : X×X → [0,∞) (appelée métrique ou distance) qui attribue un réel non négatif à chaque paire ordonnée de points et vérifie : (i) d(x,y)=0 si et seulement si x=y (positivité/identité des indiscernables), (ii) d(x,y)=d(y,x) (symétrie), et (iii) d(x,z) ≤ d(x,y)+d(y,z) (inégalité triangulaire).

Principe

Les distances sont mesurées par une unique fonction réelle respectant des contraintes algébriques qui codent l'indiscernabilité, la réciprocité et une borne additive pour la composition des trajets.

Démonstration

R^n muni de la distance euclidienne d(x,y)=sqrt(sum (x_i−y_i)^2) est un espace métrique ; la métrique discrète d(x,y)=1 si x≠y et 0 si x=y est un autre exemple concret qui induit la topologie discrète.

Mauvaise application

Considérer toute fonction symétrique et non négative comme métrique sans vérifier l'inégalité triangulaire ou l'identité des indiscernables conduit à des constructions invalides ; par exemple, une fonction prenant la valeur zéro pour des points distincts viole la séparation métrique.

Conséquence

Une métrique induit une topologie formée des boules ouvertes, fournissant des notions de convergence, continuité, complétude et compacité étudiables par suites, filets (nets) et critères de Cauchy.

Inversion

Si l'on inverse l'exigence et que l'inégalité triangulaire n'est plus imposée, la structure obtenue n'est plus un espace métrique mais peut être une quasi-métrique ou une relation de distance générale présentant une asymétrie ou une non-transitivité.

Limite

Les métriques sont limitées aux distances réelles non négatives vérifiant les trois axiomes ; les semi-métriques (pseudométriques) abandonnent l'axiome d'identité, les quasi-métriques abandonnent la symétrie, et les métriques étendues autorisent des distances infinies mais respectent sinon les axiomes.

Tension sémantique

Espace métrique vs espace topologique : une métrique détermine une topologie mais toute topologie n'est pas métrisable ; aussi métrique vs structure uniforme — les métriques induisent des uniformités mais plusieurs métriques non équivalentes peuvent donner la même topologie.

Synthèse

Un espace métrique combine une règle algébrique de distances qui produit une topologie canonique et des notions quantitatives (boules, suites de Cauchy, complétude) permettant l'analyse reposant sur la séparation numérique explicite des points.