Un conjunto X provisto de una función d: X×X → [0,∞) (llamada métrica o distancia) que asigna un número real no negativo a cada par ordenado de puntos y satisface: (i) d(x,y)=0 si y solo si x=y (positividad/identidad de los indiscernibles), (ii) d(x,y)=d(y,x) (simetría), y (iii) d(x,z) ≤ d(x,y)+d(y,z) (desigualdad triangular).

Principio

Las distancias se miden mediante una función real que obedece restricciones algebraicas que codifican la indistinguibilidad, la reciprocidad y una cota aditiva para la composición de trayectos.

Demostración

R^n con la distancia euclidiana d(x,y)=sqrt(sum (x_i−y_i)^2) es un espacio métrico; la métrica discreta d(x,y)=1 si x≠y y 0 si x=y es otro ejemplo concreto que induce la topología discreta.

Aplicación incorrecta

Tratar cualquier función simétrica no negativa como métrica sin verificar la desigualdad triangular o la identidad de los indiscernibles conduce a construcciones inválidas; por ejemplo, una función que toma valor cero en puntos distintos viola la separación métrica.

Consecuencia

Una métrica induce una topología de bolas abiertas, proporcionando nociones de convergencia, continuidad, completitud y compacidad que se pueden estudiar con sucesiones, redes (nets) y criterios de Cauchy.

Inversión

Si se invierte el requisito y se permite que falle la desigualdad triangular, la estructura resultante no es un espacio métrico sino una cuasi-métrica o una relación semejante a una distancia con comportamiento asimétrico o no transitivo.

Límite

Las métricas se limitan a distancias reales no negativas que satisfacen los tres axiomas; las pseudométricas omiten el axioma de identidad, las cuasi-métricas omiten la simetría, y las métricas extendidas permiten distancias infinitas pero por lo demás siguen los axiomas.

Tensión semántica

Espacio métrico vs espacio topológico: una métrica determina una topología pero no toda topología es metrizable; también métrica vs estructura uniforme — las métricas inducen uniformidades pero distintas métricas pueden producir la misma topología.

Síntesis

Un espacio métrico agrupa una regla algebraica de distancias que genera una topología canónica y nociones cuantitativas (bolas, sucesiones de Cauchy, completitud) que permiten el análisis basado en la separación numérica entre puntos.