Dans un anneau commutatif R, le nilradical Nil(R) est l'idéal constitué de tous les éléments nilpotents de R ; équivalemment c'est l'intersection de tous les idéaux premiers de R. Il saisit la partie non réduite de l'anneau.

Principe

Le nilradical est l'idéal radical du comportement nilpotent : un élément appartient à Nil(R) si et seulement si une puissance positive de cet élément est nulle. Le quotient par Nil(R) donne le plus grand quotient réduit de R (l'anneau réduit R_{red}).

Démonstration

Dans k[x]/(x^n), la classe de x est nilpotente et engendre le nilradical ; Nil(k[x]/(x^n))=(x) et le quotient par cet idéal est isomorphe à k, un anneau réduit.

Mauvaise application

Supposer que nilradical et radical de Jacobson coïncident en général, ou utiliser 'nilradical' sans préciser la commutativité ; dans les anneaux non commutatifs le terme admet plusieurs variantes non équivalentes (nilradical supérieur, inférieur, radical de Levitzki).

Conséquence

Éliminer le nilradical (passer à R/Nil(R)) supprime les éléments nilpotents et fournit un objet réduit sur lequel les constructions géométriques et spectrales reflètent des points effectifs ; de nombreux théorèmes structurels se simplifient sur le quotient réduit.

Inversion

Un anneau réduit est exactement un anneau dont le nilradical est nul : il n'a pas d'éléments nilpotents non nuls, donc l'intersection des premiers idéaux est {0}.

Limite

La description standard Nil(R)=⋂_{p premier} p suppose la commutativité et la théorie usuelle des idéaux. Pour les anneaux non commutatifs il faut choisir entre diverses définitions de nilradical ; pour les schémas le nilradical se manifeste par les sections nilpotentes du faisceau structural et se traite faisceau par faisceau.

Tension sémantique

Nilradical vs radical de Jacobson : le nilradical est gouverné par les idéaux premiers et la nilpotence, le radical de Jacobson par les idéaux maximaux et l'annihilation module-théorique ; ils coïncident dans certains contextes noethériens ou spéciaux mais pas en général.

Synthèse

Le nilradical est l'idéal des éléments nilpotents — l'intersection des idéaux premiers dans un anneau commutatif — et constitue l'obstruction canonique à la réduicité, éliminée en passant au quotient réduit.