En un anillo conmutativo R, el nilradical Nil(R) es el ideal formado por todos los elementos nilpotentes de R; equivalentemente es la intersección de todos los ideales primos de R. Captura la parte no reducida de la estructura.

Principio

El nilradical es el ideal radical del comportamiento nilpotente: un elemento está en Nil(R) exactamente cuando alguna potencia positiva suya es cero. El cociente R/Nil(R) es el mayor cociente reducido de R (el anillo reducido R_{red}).

Demostración

En k[x]/(x^n) la clase de x es nilpotente y genera el nilradical; Nil(k[x]/(x^n))=(x) y el cociente por este ideal es isomorfo a k, un anillo reducido.

Aplicación incorrecta

Suponer que nilradical y radical de Jacobson coinciden en general, o usar 'nilradical' sin especificar conmutatividad; en anillos no conmutativos existen varias versiones no equivalentes del nilradical (superior, inferior, radical de Levitzki).

Consecuencia

Eliminar el nilradical (pasar a R/Nil(R)) suprime los elementos nilpotentes y produce un objeto reducido sobre el que las construcciones geométricas y espectrales reflejan puntos reales; muchos teoremas estructurales se simplifican en el cociente reducido.

Inversión

Un anillo reducido es exactamente uno cuyo nilradical es cero: no tiene elementos nilpotentes no nulos, por lo que la intersección de los primos es {0}.

Límite

La descripción estándar Nil(R)=⋂_{p primo} p supone conmutatividad y la teoría usual de ideales. Para anillos no conmutativos hay distintas definiciones de nilradical; en esquemas el nilradical corresponde a las secciones nilpotentes del haz estructural y debe tratarse en sentido de haces.

Tensión semántica

Nilradical vs radical de Jacobson: el nilradical se rige por ideales primos y nilpotencia, el radical de Jacobson por ideales maximales y aniquilación modulárica; coinciden en algunos contextos noetherianos o especiales pero no en general.

Síntesis

El nilradical es el ideal de elementos nilpotentes — la intersección de los primos en un anillo conmutativo — y la obstrucción canónica a la reduccción, retirada al pasar al cociente reducido.