Pour un anneau R (habituellement avec 1), le radical de Jacobson J(R) est l'intersection de tous les idéaux maximaux à gauche de R. Équivalemment, c'est l'ensemble des éléments qui annihilent tous les R-modules simples à gauche, ou le plus grand idéal quasi‑régulier selon les définitions adaptées.

Principe

J(R) mesure l'écart de R à la semi-simplicité : les éléments de J(R) agissent 'invisiblement' sur les modules simples, et R/J(R) est semi-simple (son radical de Jacobson est nul). Dans de nombreux cas J(R) regroupe les éléments qui empêchent le scindage des modules et des représentations irréductibles.

Démonstration

Pour l'anneau des matrices triangulaires supérieures n×n sur un corps, J(R) est l'ensemble des matrices strictement triangulaires supérieures : elles sont contenues dans toutes les idéaux maximaux à gauche et agissent nilpotemment sur les modules simples donnés par les blocs diagonaux.

Mauvaise application

Supposer que le radical de Jacobson coïncide avec l'ensemble des éléments nilpotents (le nilradical) dans des anneaux non commutatifs, ou traiter les radicaux de Jacobson à gauche et à droite comme toujours identiques sans vérifier la latéralité ni la présence d'unité.

Conséquence

Passer au quotient par J(R) produit un anneau aux propriétés structurelles améliorées (quotient semi-simple) ; les modules se factorisent par le quotient lors du contrôle de la semi-simplicité ; de nombreux théorèmes de décomposition se ramènent à l'étude de R/J(R).

Inversion

Si J(R)=0 l'anneau n'a pas d'annihilateurs cachés sur les modules simples et est dit semiprimitif ; pour les anneaux semi-simples le radical de Jacobson est nul et les modules simples séparent les éléments de l'anneau.

Limite

La définition dépend des notions gauche/droite en contexte non commutatif et suppose généralement une unité. Pour les anneaux sans 1 ou dans des catégories de modules avec structure supplémentaire, des variantes existent (par ex. radicaux de Jacobson supérieurs/inférieurs, radicaux topologiques).

Tension sémantique

Radical de Jacobson vs nilradical : en anneaux commutatifs les deux peuvent différer ; le radical de Jacobson est lié aux idéaux maximaux et aux modules simples, tandis que le nilradical est lié aux idéaux premiers et aux éléments nilpotents. En algèbre non commutative coexistent plusieurs notions de 'radical' (Levitzki, premier, Baer, ...).

Synthèse

Le radical de Jacobson est l'idéal des éléments indétectables par les modules simples — l'intersection des idéaux maximaux à gauche — et constitue l'obstruction canonique à la semi-simplicité et à la séparation par représentations simples.