Une variété en algèbre universelle est une classe d'algèbres de même signature fermée par images homomorphes (H), sous-algèbres (S) et produits directs arbitraires (P) ; équivalemment, une classe axiomatisable par un ensemble d'identités (équations).

Principe

Fermeture équationnelle : les identités déterminent la classe, et la fermeture par H, S et P garantit que les équations syntaxiques se traduisent en propriétés de fermeture algébrique robustes (théorème HSP de Birkhoff).

Démonstration

Les groupes (signature : multiplication, inverse, unité) forment une variété car ils sont définis par des identités et sont fermés par images homomorphes, sous-groupes et produits ; les corps ne forment pas une variété car les axiomes de corps échouent à être stables par produits ou images homomorphes.

Mauvaise application

Qualifier de variété toute classe fermée par sous-algèbres et produits sans vérifier la fermeture par images homomorphes, ou confondre variétés et quasivariétés (lesquelles sont axiomatisables par quasi-identités et ont une fermeture différente).

Conséquence

Les variétés admettent des algèbres libres, un raisonnement équationnel et des réécritures de termes, ainsi que des constructions universelles ; elles bénéficient d'une théorie structurelle forte et d'équivalences catégoriques avec des monades algébriques sur Ens.

Inversion

La notion inverse est une classe définie par des contraintes non équationnelles (par exemple une condition existentielle sur l'existence d'inverses) qui peut être fermée par moins d'opérations et qui échoue à la fermeture HSP.

Limite

Exige une signature fixe et des opérations finies ; ne capture pas les structures relationnelles ni les classes définies par des conditions infinitaires ou existentielles. Les généralisations multisortes ou infinitaires nécessitent d'autres théorèmes de fermeture.

Tension sémantique

En tension avec la notion de quasivariété et de classe élémentaire : les variétés sont purement équationnelles tandis que les classes élémentaires peuvent nécessiter des axiomes du premier ordre ; certaines classes naturelles sont strictement intermédiaires.

Synthèse

Une variété est la manifestation algébrique de la logique des identités : une signature et des identités génèrent une classe stable par homomorphismes, sous-structures et produits, permettant la construction d'objets libres et une manipulation algébrique gouvernée par des identités.