Una variedad en álgebra universal es una clase de álgebras de la misma firma cerrada bajo imágenes homomorfas (H), subalgebras (S) y productos directos arbitrarios (P); equivalentemente, una clase axiomatizable por un conjunto de identidades (ecuaciones).

Principio

Cierre por ecuaciones: las identidades determinan la clase y el cierre HSP asegura que las ecuaciones sintácticas se traduzcan en propiedades de cierre algebraicas robustas (teorema HSP de Birkhoff).

Demostración

Los grupos (firma: multiplicación, inverso, unidad) forman una variedad porque se definen por identidades y están cerrados bajo imágenes homomorfas, subgrupos y productos; los cuerpos no forman una variedad porque fallan propiedades de cierre frente a productos o imágenes homomorfas.

Aplicación incorrecta

Denominar variedad a cualquier clase cerrada por subalgebras y productos sin verificar la clausura por imágenes homomorfas, o confundir variedad con quasivariedad (axiomatizable por cuasi-identidades y con diferente cierre).

Consecuencia

Las variedades admiten álgebras libres, razonamiento ecuacional y reescritura de términos, y construcciones universales; disponen de una teoría de estructura fuerte y equivalencias categóricas con mónadas algebraicas en Conjuntos.

Inversión

La inversión es una clase definida por restricciones no ecuacionales (por ejemplo, una condición existencial sobre la existencia de inversos) que puede estar cerrada bajo menos operaciones y no cumplir HSP.

Límite

Requiere una firma fija y operaciones finitas; no captura estructuras relacionales ni clases definidas por condiciones infinitarias o existenciales. Las generalizaciones multi-sorted o infinitarias requieren otros teoremas de clausura.

Tensión semántica

En tensión con la noción de quasivariedad y clase elemental: las variedades son puramente ecuacionales mientras que las clases elementales pueden requerir axiomas de primer orden; algunas clases algebraicas naturales quedan estrictamente entre ambas.

Síntesis

Una variedad es la manifestación algebraica de la lógica ecuacional: una firma más identidades generan una clase estable bajo homomorfismos, subestructuras y productos, permitiendo objetos libres y manipulación algebraica regida por identidades.