Une théorie T est catégorique en une cardinalité κ si tous ses modèles de cardinalité κ sont isomorphes ; la catégoricité en un κ infini est une propriété forte d'unicité pour les modèles de cette taille et soutient des résultats profonds de classification (par exemple le théorème de Morley pour la catégoricité non dénombrable).

Principe

L'unicité d'un modèle à isomorphisme près pour une taille donnée contraint la structure combinatoire et algébrique des modèles et impose souvent des conditions de stabilité ou d'ordre qui permettent une classification structurelle.

Démonstration

La théorie des ordres linéaires denses sans extrémités est ℵ0-catégorique : à isomorphisme près il existe exactement un ordre dense dénombrable sans extrémités (les rationnels avec l'ordre), donc la théorie a un modèle dénombrable unique.

Mauvaise application

Supposer que la catégoricité en une cardinalité entraîne la catégoricité en d'autres ; par exemple la catégoricité dénombrable ne donne pas automatiquement la catégoricité non dénombrable, et le comportement catégorique dépend du langage et de la signature.

Conséquence

La catégoricité entraîne de fortes conclusions en théorie des modèles comme la complétude, un contrôle des groupes d'automorphismes, et souvent la stabilité ; dans de nombreux cas elle permet une description structurale complète des modèles de la cardinalité donnée.

Inversion

Une théorie qui n'est pas catégorique en κ admet plusieurs modèles non isomorphes de cardinalité κ, ce qui indique une diversité de structures possibles et l'échec d'une classification rigide à cette taille.

Limite

La catégoricité se définit relativement à une cardinalité et à un langage fixé ; elle ne dit rien sur les modèles d'autres cardinalités et peut être sensible aux expansions ou aux réductions du langage.

Tension sémantique

Tension entre catégoricité et complétude ou modèle-complétude : la catégoricité concerne l'unicité des modèles à une taille, tandis que la complétude concerne la décision des phrases ; une théorie peut être complète sans être catégorique et vice versa.

Synthèse

La catégoricité signifie unicité des modèles à isomorphisme près pour une cardinalité donnée et, lorsqu'elle est satisfaite, constitue une hypothèse puissante imposant une régularité structurelle qui permet des théorèmes profonds de classification.