Una teoría T es categórica en una cardinal κ si cualesquiera dos modelos de T de cardinalidad κ son isomorfos; la categoricidad en una κ infinita es una propiedad fuerte de unicidad para modelos de ese tamaño y sustenta resultados profundos de clasificación (p. ej., el teorema de Morley para categoricidad no numerable).

Principio

La unicidad de un modelo hasta isomorfismo en un tamaño especificado restringe la estructura combinatoria y algebraica de los modelos y suele forzar condiciones de estabilidad u otras propiedades de control que permiten la clasificación estructural.

Demostración

La teoría de órdenes lineales densos sin extremos es ℵ0-categórica: a isomorfismo hay exactamente un orden denso numerable sin extremos (los racionales con su orden), por lo que la teoría tiene un único modelo numerable.

Aplicación incorrecta

Suponer que la categoricidad en una cardinal implica categoricidad en otras; por ejemplo, la categoricidad numerable no implica categoricidad en cardinales no numerables, y el comportamiento categórico depende del lenguaje y la firma.

Consecuencia

La categoricidad conlleva fuertes consecuencias en teoría de modelos como completitud, control de los grupos de automorfismos y a menudo estabilidad; en muchos casos permite una descripción estructural completa de los modelos de la cardinalidad dada.

Inversión

Una teoría que no es categórica en κ admite múltiples modelos no isomorfos de cardinalidad κ, lo que indica diversidad de estructuras posibles y fracaso de una clasificación rígida en ese tamaño.

Límite

La categoricidad se define respecto de una cardinal y un lenguaje fijos; no afirma nada sobre modelos de otras cardinalidades y puede ser sensible a expansiones o reducciones del lenguaje.

Tensión semántica

Tensión entre categoricidad, completitud y modelo-completitud: la categoricidad concierne a la unicidad de modelos en un tamaño, mientras que la completitud concierne a la decisión de sentencias; una teoría puede ser completa sin ser categórica y viceversa.

Síntesis

La categoricidad significa unicidad de modelos hasta isomorfismo en una determinada cardinalidad y, cuando se cumple, actúa como una hipótesis potente que impone regularidad estructural y posibilita teoremas de clasificación profundos.