Étant donné un idéal I et un élément ou un idéal J dans un anneau R, la saturation I : J^∞ = { f ∈ R | ∃ n tel que J^n f ⊆ I } (souvent I : f^∞ lorsque J = (f)) supprime les composantes de V(I) contenues dans V(J) et produit un idéal dont l'ensemble des zéros est V(I) privé de la partie supportée dans V(J).

Principe

La saturation teste l'appartenance à I à facteur de puissances de J : calculer algorithmiquement les idéaux colon I : J^n jusqu'à stabilisation ; géométriquement cela correspond à supprimer les composantes supportées dans V(J) et c'est un outil standard d'élimination et de localisation.

Démonstration

Dans k[x,y], pour I = (xy) la saturation par rapport à y donne I : y^∞ = { g | y^n g ∈ (xy) pour un certain n } = (x). Géométriquement cela enlève la composante x=0 des points supportés sur y=0, réalisant l'élimination des composantes incorporées visées.

Mauvaise application

Employer la saturation par rapport à un élément non pertinent ou oublier de vérifier la stabilisation peut conduire à des idéaux erronés ; confondre la saturation (qui supprime les composantes supportées dans V(J)) avec une simple localisation ou une radicalisation peut dénaturer les effets au niveau schématique.

Conséquence

La saturation sert à effectuer des éliminations, calculer des quotients d'idéaux et supprimer des composantes incorporées indésirables ; elle permet de restreindre des schémas et de calculer des fermetures ou des compléments à l'intérieur d'ensembles algébriques.

Inversion

Si l'on inverse l'opération—conserver les composantes multipliées plutôt que de les supprimer—on conserve les parties incorporées et la structure nilpotente, ce qui peut être nécessaire pour certains invariants schématiques ; la saturation sacrifie volontairement ces données.

Limite

La saturation est bien définie dans les anneaux noethériens où la suite I : J^n se stabilise ; dans des contextes non noethériens la stabilisation peut échouer. La saturation modifie la structure schématique et se distingue de la prise de radical ou de la clôture intégrale.

Tension sémantique

La saturation se situe entre la localisation et la radicalisation : comme la localisation elle ignore l'information supportée sur V(J), mais contrairement à la localisation elle donne un idéal dans R (et non seulement dans R_J) ; contrairement au radical, la saturation conserve certaines données non réduites hors de V(J).

Synthèse

La saturation I : J^∞ supprime systématiquement les composantes de I supportées dans V(J) en testant l'appartenance à I à facteurs de puissances de J ; c'est une technique d'élimination/localisation qui fournit un idéal codant le complément du support indésirable et se calcule par itération d'idéaux-colon ou par méthodes de Gröbner.