Für ein Ideal I und ein Element bzw. Ideal J in einem Ring R ist die Sättigung I : J^∞ = { f ∈ R | ∃ n mit J^n f ⊆ I } (häufig I : f^∞ bei J=(f)) die Operation, die Komponenten von V(I) entfernt, die in V(J) liegen, und ein Ideal produziert, dessen Nullstellenmenge V(I) ohne den in V(J) liegenden Anteil ist.

Prinzip

Sättigung testet Mitgliedschaft bis auf Multiplikation mit Potenzen von J: algorithmisch berechnet man sukzessive Kolon-Ideale I : J^n bis zur Stabilisierung; geometrisch entspricht dies dem Entfernen von in V(J) liegenden Komponenten und ist ein Standardwerkzeug zur Elimination und Lokalisation.

Demonstration

In k[x,y] mit I = (xy) ergibt die Sättigung nach y I : y^∞ = { g | y^n g ∈ (xy) für ein n } = (x). Geometrisch entfernt dies die Komponente x=0 von den Punkten, die auf y=0 liegen, und erreicht damit die gewünschte Eliminierung eingebetteter Teile.

Fehlanwendung

Sättigung bezüglich eines irrelevanten Elements zu verwenden oder die Stabilisierung nicht zu prüfen kann zu falschen Idealen führen; Sättigung mit bloßer Lokalisation oder Radikalisierung zu verwechseln kann die schematischen Effekte falsch darstellen.

Konsequenz

Sättigung dient zur Elimination, Berechnung von Idealquotienten und Entfernung unerwünschter eingebetteter Komponenten; sie erlaubt Einschränkungen von Schemata und die Berechnung von Abschlüssen oder Komplemente innerhalb algebraischer Mengen.

Umkehrung

Wendet man das Gegenteil an — behält man multiplizierte Komponenten statt sie zu entfernen — so bleiben eingebettete Teile und nilpotente Struktur erhalten, was für bestimmte schematische Invarianten erforderlich sein kann; Sättigung verwirft diese Daten bewusst.

Abgrenzung

Sättigung ist in noetherschen Ringen wohldefiniert, da die Kette I : J^n dort stabilisiert; in nicht-noetherschen Kontexten kann die Stabilisierung ausbleiben. Sättigung verändert die schematische Struktur und unterscheidet sich von Radikalbildung oder integraler Abschlussbildung.

Semantische Spannung

Sättigung liegt begrifflich zwischen Lokalisation und Radikalisierung: wie Lokalisation ignoriert sie Informationen, die auf V(J) liegen, ist aber im Gegensatz zur Lokalisation ein Ideal in R (nicht nur in R_J); anders als das Radikal bewahrt die Sättigung gewisse nicht-reduzierte Daten außerhalb von V(J).

Synthese

Die Sättigung I : J^∞ entfernt systematisch die in V(J) liegenden Komponenten von I durch Testen der Mitgliedschaft bis zu Potenzen von J; sie ist eine Eliminations-/Lokalisationstechnik, die ein Ideal für das Komplement des unerwünschten Supports liefert und sich durch Kolon-Iteration oder Gröbner-Methoden berechnen lässt.