Propriété d'une algèbre selon laquelle les puissances d'un élément unique sont définies sans ambiguïté par la loi a^m a^n = a^{m+n} pour tous entiers m,n≥0, autrement dit toutes les parenthésations de multiplications répétées du même élément coïncident.

Principe

Garantir que la sous-algèbre engendrée par un seul élément est associative afin que les expressions polynomiales en un seul générateur et l'exponentiation soient bien définies malgré la non-associativité possible de l'algèbre globale.

Démonstration

Les algèbres de Jordan et les algèbres alternatives sont puissance-associatives : pour un a fixé, les produits a(a(…)) et ((…)aa)… coïncident, de sorte que a^k est bien défini et l'on peut évaluer des polynômes en a.

Mauvaise application

Supposer que la puissance-associativité implique l'associativité pour des produits d'éléments distincts ; la puissance-associativité ne garantit que l'associativité des autoproduits, pas des triples mélangés d'éléments différents.

Conséquence

Permet un calcul cohérent des puissances et un calcul fonctionnel polynomial pour un élément seul, soutient la définition d'exponentielles ou de polynômes minimaux combinée à d'autres structures, et simplifie les considérations spectrales.

Inversion

Sans puissance-associativité, différentes parenthésations de a^n peuvent donner des résultats différents, rendant la notion de a^n ou des polynômes en a mal définie ; l'associativité pleine garantit la puissance-associativité mais est plus forte.

Limite

Concerne spécifiquement les sous-algèbres monogènes et ne contraint pas les associateurs à entrées distinctes ; elle peut s'énoncer avec ou sans unité et peut nécessiter des précautions liées à la caractéristique pour certaines conclusions.

Tension sémantique

Met en tension l'alternativité : l'alternativité implique la puissance-associativité et l'associativité pour deux générateurs (théorème d'Artin), mais la puissance-associativité seule laisse subsister de nombreux comportements non associatifs.

Synthèse

La puissance-associativité isole l'associativité minimale nécessaire pour manipuler de façon fiable puissances et polynômes en un seul élément : elle impose l'accord de toutes les parenthésations de l'autoproduit tout en autorisant des phénomènes non associatifs plus larges.