Propiedad de un álgebra según la cual las potencias de un solo elemento están definidas sin ambigüedad por la regla a^m a^n = a^{m+n} para todos los enteros no negativos m,n, es decir, todas las parentetizaciones de multiplicaciones repetidas del mismo elemento coinciden.

Principio

Asegurar que la subálgebra generada por un elemento es asociativa para que las expresiones polinómicas en un único generador y la exponenciación estén bien definidas, pese a que el álgebra global pueda ser no asociativa.

Demostración

Las álgebras de Jordan y las alternativas son potencia-asociativas: para un a fijo las potencias definidas por distintas asociaciones coinciden, de modo que a^k queda bien definido y se pueden evaluar polinomios en a.

Aplicación incorrecta

Suponer que la potencia-asociatividad implica asociatividad para productos de elementos distintos; la potencia-asociatividad sólo garantiza que los autoproductos asocien, no los triples mezclados de elementos diferentes.

Consecuencia

Permite una teoría consistente de potencias y un cálculo polinómico para elementos individuales, facilita la definición de exponenciales o polinomios mínimos si se dispone de más estructura y simplifica consideraciones espectrales.

Inversión

Sin potencia-asociatividad, diferentes parentetizaciones de a^n pueden dar resultados distintos, haciendo que la noción de a^n o de polinomios en a quede mal definida; la asociatividad plena garantiza la potencia-asociatividad pero es más fuerte.

Límite

Se refiere específicamente a subálgebras monogénicas y no restringe los asociadores con entradas distintas; puede enunciarse con o sin unidad y algunas conclusiones dependen de la característica del anillo o campo.

Tensión semántica

Compite con la alternatividad: la alternatividad implica potencia-asociatividad y asociatividad para dos generadores, pero la potencia-asociatividad por sí sola no obliga a la alternatividad.

Síntesis

La potencia-asociatividad aísla la asociatividad mínima necesaria para tratar potencias y polinomios en un solo elemento de forma fiable: exige la coincidencia de todas las parentetizaciones de la autoproducción mientras permite fenómenos no asociativos más amplios.