Le colimite catégorique qui recolle deux objets le long d'un sous-objet commun : données des flèches A → B et A → C, le pushout B ⊔_A C est l'objet universel qui reçoit des flèches de B et C concordantes sur A.

Principe

Caractérisé par la propriété universelle des colimites : B ⊔_A C est muni d'applications canoniques i_B: B → B ⊔_A C et i_C: C → B ⊔_A C telles que i_B∘f = i_C∘g sur A, et tout autre objet recevant des applications compatibles de B et C se factorise de façon unique par le pushout.

Démonstration

Dans la catégorie des ensembles, le pushout d'inclusions A ↪ B et A ↪ C est l'union disjointe B ⊔ C modulo l'identification des éléments provenant de A. En topologie, les pushouts recollent des espaces le long d'un sous-espace commun (par exemple attacher une cellule en recollant sa frontière). En algèbre, on réalise souvent des sommes amalgamées d'anneaux ou de groupes par quotients imposant des relations supplémentaires.

Mauvaise application

Prendre les pushouts pour de simples unions ensemblistes dans des catégories où la structure importe (oublier les identifications topologiques ou les relations algébriques). Une autre erreur est de supposer que les pushouts préservent automatiquement les monoïmes ou plongements ; ils peuvent introduire des identifications rompant l'injectivité.

Conséquence

Les pushouts permettent de réaliser des recollements, des amalgamations et des attachements et sont centraux pour les constructions de colimites, coégaliseurs et diagrammes. Ils permettent de combiner des objets tout en imposant les identifications dictées par un sous-objet commun, produisant des amalgames universels en algèbre et en topologie.

Inversion

Dual au pullback : tandis que le pushout est le cocône universel fusionnant à partir d'une source, le pullback est le cône universel synchronisant le long d'une cible. L'inversion échange le comportement de colimite (amalgamation) par celui de limite (synchronisation).

Limite

Nécessite une catégorie ambiante qui admette les colimites pertinentes ; l'existence et la forme dépendent de la catégorie (ensembles, espaces topologiques, modules, groupes, anneaux se comportent différemment). Tous les pushouts ne préservent pas des propriétés telles que les plongements, la présentation finie ou la séparation de Hausdorff.

Tension sémantique

On les confond souvent avec des unions ou concaténations naïves car tous « recollent » des pièces, mais le pushout est défini par une propriété universelle et peut créer des identifications ou relations algébriques absentes d'une simple union. La tension existe aussi avec les coproducts fibrés et les coégaliseurs, étroitement liés mais distincts.

Synthèse

Le pushout est la manière universelle de recoller deux objets le long d'un sous-objet partagé : il forme le cocône identifiant les images de la partie commune et médiatise chaque paire de flèches compatibles vers un objet quelconque.